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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3 - Ex. 4

Identifique a quádrica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 2 x y + 2 x z + 2 y z - 6 x - 6 y - 4 z = 9

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da quádrica tiramos que:

a = 0

b =   0

c = 0

d = 2

e = 2

f =   2

Portanto:

A =   a d / 2 e / 2 d / 2 b f / 2 e / 2 f / 2 c = 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 3 = 0 - λ 1 1 1 0 - λ 1 1 1 0 - λ = - λ 3 + 3 λ + 2  

- λ 3 + 3 λ + 2   = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 2

λ 2 = - 1

λ 3 = - 1

Passo 3

Para determinarmos os vetores U ,   T   e   U ' .

Precisamos que:

A - 2 I 3 X   = 0 →

- 2 1 1 1 - 2 1 1 1 - 2 x y z = 0 0 0

Escalonando:

- 2 1 1 0 - 3 2 3 2 0 0 0 x y z = 0 0 0

Solução Geral:

W 1 = - α -   β , α , β ; α , β ∈ R

V 1 = - 1 1 0   e   V 2 = - 1 0 1

U = V 1 V 1 ,   T = V 2 V 2   e   U ' = U   x   T

U =   - 1 2 1 2 0 ,   T =   - 1 6 - 1 6 6 3   e   U ' = 1 3 1 3 1 3

P =   U T U ' = - 1 2 - 1 6 1 3 1 2 - 1 6 1 3 0 6 3 1 3

Passo 4

K =   - 6 - 6 - 4

K ' = K x P = - 6 - 6 - 4 x - 1 2 - 1 6 1 3 1 2 - 1 6 1 3 0 6 3 1 3

K ' = 0 2 2 3 - 16 3

Passo 5

Agora que eliminamos o termo x y , x z   e   y z podemos escrever a equação da nossa quádrica:

Q : 2 x y + 2 x z + 2 y z - 6 x - 6 y - 4 z = 9 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + λ 3 z 1 2 + K 1 ' x 1 + K 2 ' y 1 + K 3 ' z 1 = 9

Q : 2 x 1 2 - y 1   2 - z 1 2 + 2 2 3 y 1 - 16 3 z 1 = 9 ÷ 9

Q : 2 9 x 1 2 - 1 9 y 1   2 - 1 9 z 1 2 + 2 2 9 3 y 1 - 16 9 3 z 1 = 1

Equação de um hiperbolóide de uma folha.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

Q : 2 9 x 1 2 - 1 9 y 1   2 - 1 9 z 1 2 + 2 2 9 3 y 1 - 16 9 3 z 1 = 1

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Prove que elipsoide Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é limitado. Generalize os conceitos de retângulo fundamental e coroa fundamental de uma elipse (capítulo 22 ) para o elipsoide Ω : x 2 / a
Sendo Ω : 2 x 2 - y 2 + 4 z 2 = 1 , determine os planos paralelos aos planos coordenados que interceptam Ω em uma cônica de distância focal 6 .
Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que são equidistantes de P = 1,1 , 0 e π : z + 2 = 0 , e identifique-o.
Identifique, em cada caso, a quádrica cilíndrica descrita pela equação dada e comente a posição das geratrizes em relação aos eixos coordenados.(a) y 2 a 2 + z 2 b 2 = 1 (b) z 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 (c)
Identifique a quádrica descrita pela equação dada.(f) x 2 + 4 x y + 4 y 2 + 6 x + 12 y + 5 = 0