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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 06

Identifique, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que d X , A + d X , B = m .

  1. A = 1 ,   0,0 B = - 1 ,   0 ,   0 m = 2 .
  2. A = 2,0 , 2 B = 2,0 , 0 m = 1 .

Passo 1

  1. Seja X = x , y , z . Assim,

    2. d X ,   A = 2 - d X ,   B ⟹

    x - 1 2 + y 2 + z 2 = 2 - x + 1 2 + y 2 + z 2 ⟹

    x - 1 2 + y 2 + z 2 = 4 - 4 x + 1 2 + y 2 + z 2 + x + 1 2 + y 2 + z 2 ⟹

    4 x + 1 2 + y 2 + z 2 = 4 + 4 x ⟹ x + 1 2 + y 2 + z 2 = 1 + x ⟹

    x + 1 2 + y 2 + z 2 = 1 + x 2 ⟹ y 2 + z 2 = 0

    ou seja, y = z = 0 . Assim, o LG será o próprio segmento A B .

    Passo 2

  2. Seja X = x ,   y , z . Assim,

d X ,   A = 1 - d X ,   B ⟹

x - 2 2 + y 2 + z - 2 2 = 1 - x - 2 2 + y 2 + z 2 ⟹

x - 2 2 + y 2 + z - 2 2 = 1 - 2 x - 2 2 + y 2 + z 2 + x - 2 2 + y 2 + z 2 ⟹

4 - 4 z = 1 - 2 x - 2 2 + y 2 + z 2 ⟹

2 x - 2 2 + y 2 + z 2 = 4 z - 3 ⟹

4 x - 2 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 16 z 2 - 24 z + 9 ⟹

x 2 - 4 x + y 2 - 3 z 2 + 6 z = - 7 4

Note que o gabarito do livro está incorreto. A região na verdade é um hiperboloide, como mostra a figura a seguir.

Passo 2

AAA

Passo 3

A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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