Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 23
Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:
Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz assim:
Que usando a correspondência numérica fica:
Agora seja uma matriz qualquer inversível, por exemplo:
Multiplicamos nossa matriz da mensagem por , obtendo .
Transmitimos esta nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números ). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa e posterior transcrição dos números para letras. é chamada matriz chave para o código.
- Você recebeu a mensagem:
- Aconteceu que o inimigo descobriu a sua chave. O seu comandante manda você substituir a matriz chave por . Você transmite a mensagem “CRETINO...” a ele (codificada, naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar a mensagem?
- Escolha uma matriz-chave que dê para codificar palavras até 16 letras. Codifique e descodifique à vontade!
Utilizando mesma chave traduza a mensagem.
Passo 1
a) Nessa questão, primeiro temos que representar nossa mensagem em forma de matriz. Veja:
Para decodificar essa mensagem, devemos ter em mãos a inversa da matriz chave, que foi dada no enunciado.
Vamos usar o método fornecido na sessão 3.9, veja:
Vamos então às operações simples com linhas:
Ou seja:
Agora é só multiplicar pela matriz fornecida:
Ou seja:
Passo 2
b) Para que uma chave possa ser utilizada devemos conseguir decodificar a mensagem após a codificação, certo?
Pra isso, a gente viu que precisa da matriz inversa da chave, ou seja, a chave precisa ter inversa!
Vamos calcular o determinante da matriz fornecida:
Fazendo as operações simples com linhas:
Ou seja, a matriz possui determinante nulo, o que implica que sua inversa não existe!
Como a matriz não possui inversa, não será possível decodificar a mensagem.
Passo 3
c) Nesse item, basta mostrar uma matriz , pois queremos codificar palavras de até letras, que seja não singular. Um exemplo é a matriz:
Resposta
- “ANIMO PO”;
- Não possui inversa;
- Qualquer matriz não singular.