Sejam F e G operadores lineares de R 3 tais F x , y , z = ( x , 2 y , y - z ) e que a matriz de 2 F - G em relação à base canonica é

1 1 0 0 1 0 1 2 1

Determinar a matriz de G em relação à base canônica. Determinar também G x , y , z .

Passo 1

Primeiro tome que dado F x , y , z = ( x , 2 y , y - z ) e supondo que G x , y , z = a , b , c com a ,   b e c funções de x , y , z então

2 F - G = 2 x , 2 y ,   y - z - a , b , c

= 2 x - a , 4 y - b , 2 y - 2 z - c

Na qual a matriz transformação de 2 F - G pode ser escrita como

1 1 0 0 1 0 1 2 1 x y z = x + y , y , x + 2 y + z

Ou seja

x + y , y , x + 2 y + z = 2 x - a , 4 y - b , 2 y - 2 z - c

Passo 2

Escrevendo um sistema do que encontramos acima, temos

x + y = 2 x - a y = 4 y - b x + 2 y + z = 2 y - 2 z - c

Na qual teremos que

a = x - y b = 3 y c = - x - 3 z

Ou seja

G x , y , z = x - y , 3 y , - x - 3 z

Na qual teremos que a de G em relação à base canônica será

1 - 1 0 0 3 0 - 1 0 - 3

Visto que

1 - 1 0 0 3 0 - 1 0 - 3 x y z = x - y , 3 y , - x - 3 z

Resposta

1 - 1 0 0 3 0 - 1 0 - 3

G x , y , z = x - y , 3 y , - x - 3 z

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