Mostrar que o espaço vetorial não é finitamente gerado.

Vamos lá! Vamos pensar assim: Tome o conjunto de vetores que gera o espaço . Beleza?!

Se a gente quiser “estendê-lo” de forma que ele gere o  não vamos conseguir. Mas por que isso?

Existe aqui um problema de contagem onde a intuição falha: a sequência de coordenadas de cada vetor possui uma quantidade finita de números. (Você deve estar se perguntando “como assim?!”)

Vamos pensar: No caso do primeiro vetor ela começaria com um e o restante seria de zeros. Mas quando lidamos com infinito, quem é o último elemento? O último vetor gerador do espaço seria um vetor com a primeira coordenada nula, depois uma infinidade de zeros até que a última coordenada seria um. Sacou?

Mas não temos um modo de escrever essa sequência de vetores que geram o espaço explicitamente.

Vamos pensar de outra forma pra ver se fica mais claro?

No caso de uma sequência finita de vetores que geram um espaço, sabemos quem é o último, pois a ele corresponde a uma posição inteira na sequência. Mas no caso de uma sequência infinita, se um elemento é dito como o ocupante da última posição e ela é um número inteiro, sempre existirá uma posição seguinte.

Portanto, o espaço vetorial não é finitamente gerado.