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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 15

Mostrar que é subespaço de M n ( R ) o subconjunto formado pelas matrizes antissimétricas. Mostrar também que M n ( R ) é some direta dos subespaços das matrizes simétricas e das antissimétricas.

Passo 1

Vamos lá!

Vamos considerar S n R ≔ A   ∈ M n R   A = A T }   o conjunto das matrizes simétricas e A S n R ≔ A   ∈ M n R   A = - A T } o conjunto das matrizes antissimétricas. Beleza?

Temos que mostrar 3 coisas nessa questão:

  1. S n R é um subespaço vetorial de M n R ;

  2. A S n R é um subespaço vetorial de M n R ;

  3. M n R = S n R ⊕   A S n R

Show de bola?

Passo 2

  1. S n R é um subespaço vetorial de M n R

    2. Já podemos reparar de cara que o elemento nulo (matriz nula) 0 ∈ S n R .

    Vamos verificar agora se a soma e a multiplicação estão em S n R . Vamos fazer um pouco diferente dessa vez, vamos provar as duas propriedades de uma vez só. Poderíamos fazer separado também, daria no mesmo.

    Sejam A , B ∈ S n R   e   k   ∈ R . Temos que

    A + k B T = A T + k B T = A + k B

    Portanto, A + k B ∈ S n R .

    Podemos então concluir que S n R é um subespaço vetorial de M n R .

    Passo 3

  2. A S n R é um subespaço vetorial de M n R

Já podemos reparar também de cara que o elemento nulo (matriz nula) 0 ∈ A S n R .

Vamos verificar agora se a soma e a multiplicação estão em A S n R .

Sejam A , B ∈ A S n R   e   k   ∈ R . Temos que

A + k B T = A T + k B T = - A - k B = - ( A + k B )

Portanto, A + k B ∈ A S n R .

Podemos então concluir que A S n R é um subespaço vetorial de M n R .

Passo 3

  1. M n R = S n R ⊕   A S n R

Para mostrar essa última afirmação, vamos considerar A ∈ M n R , tal que

A = A + A T 2 + A - A T 2

Onde A + A T 2   ∈ S n R e A - A T 2 ∈ A S n R . Beleza?

Podemos, então, concluir que

M n R = S n R + A S n R

Além disso, podemos observar que se A ∈ S n R ∩ A S n R ⇔ A = 0   ( m a t r i z   n u l a ) , pois pela definição teríamos que

A = A T =   - A .

Logo, M n R = S n R ⊕ A S n R

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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