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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 2

Quais dos conjuntos abaixo são sub-espaços do espaço P ( R ) de todos os polinômios reais?

  1. W = f t ∈ P R   f t   t e m   g r a u   m a i o r   q u e   2 }

  2. W =   f t     f 0 = 2 f ( 1 ) }  

  3. W = f t     f t > 0 ,   ∀ t ∈ R }

  4. W = f t     f t + f ' t = 0 }

Passo 1

A) W = f t ∈ P R   f t   t e m   g r a u   m a i o r   q u e   2 }

Para fazer a letra A vamos utilizar 2 exemplos (convenientemente, rs) para mostrar que uma das propriedades irá falhar:

Seja f t = t 3 - 2 t e g t = - t 3 + t , ambos ∈ W .

Quando fazemos f t + g ( t ) , temos

f t + g t = t 3 - 2 t - t 3 + t = - t

Como o grau obtido é menor que 2, temos que f t + g t ∉ W

Logo, W não é um sub-espaço do espaço P ( R ) .

Passo 2

B) W =   f t     f 0 = 2 f ( 1 ) }

Precisamos verificar se as 3 propriedades de subespaço vetorial são satisfeitas.

Note que o elemento neutro está em W , pois o polinômio n t = 0 é tal que n 0 = 2 1 .

Vamos agora verificar se a soma está em W :

Sejam f e g em W . Temos que

f + g 0 = f 0 + g 0 = 2 f 1 + 2 f 1 = 2 f 1 + g 1 = 2 ( f + g ) ( 1 )

Portanto, f + g   ∈ W .

Agora falta verificar se k f ∈ W ,   o n d e   k   é um número real.

Sejam f ∈ W e k   ∈ R . Temos que

k f 0 = k f 0 = k ( 2 f 1 = 2 ( k f ) ( 1 )

Portanto k f está em W .

Como as três propriedades foram satisfeitas, W é um sub-espaço do espaço P ( R ) .

Passo 3

C) W = f t     f t > 0 ,   ∀ t ∈ R }

Para fazer a letra C vamos utilizar um exemplo (convenientemente, rs) para mostrar que uma das propriedades irá falhar:

Seja f t = t + t 2 . Assim,

f 0 = 0 + 0 2 = 0

O polinômio nulo existe mas não está na definição do conjunto.

Logo, W não é um sub-espaço do espaço P ( R ) .

D) W = f t     f t + f ' t = 0 }

Precisamos verificar se as 3 propriedades de subespaço vetorial são satisfeitas.

Note que n t = 0 está em W , pois

f 0 + f ' 0 = 0 .

Vamos agora verificar se a soma está em W :

Sejam f e g em W . Temos que

f + g t + f ' + g ' t = f t + g t + [ f t + g t ' = f t + g t + f ' t + g ' ( t )

Dando aquela arrumada marota, ficamos com

f t + f ' t + g t + g ' t = 0 + 0 = 0

Desse modo, f + g t + f ' + g ' t = 0 . Portanto, f + g está em W .

Agora falta verificar se k f ∈ W ,   o n d e   k   é um número real.

Sejam f ∈ W e k   ∈ R . Temos que

k f t + k f ' t = k f t + k f ' t = k f t + f ' t = k . 0 = 0

Portanto,   k f está em W .

Como as três propriedades foram satisfeitas, W é um sub-espaço do espaço P ( R ) .

Resposta

  1. Não.
  2. Sim.
  3. Não.
  4. Sim.
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