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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 24

Sejam U , V   e W subespaços vetoriais do mesmo espaço para os quis valem o seguinte:

U ∩ V + W = V ∩ W = { 0 }

Provar que se u + v + w = 0 , com u ∈ U , v ∈ V   e   w   ∈ W , então u = v = w = 0 .

Passo 1

Vamos lá! Suponha que exista u ≠ 0 , tal que

u + v + w = 0   ⇒ u = - v - w

Agora, vamos reparar no seguinte:

Se u = - v - w , então U ∩ V + W ≠ 0 .

Com efeito, temos V e W subespaços, então se v ∈ V e w ∈ W , segue que - v ∈ V e - w ∈ W , de modo que - v - w ∈ V + W . Então, u = 0 , necessariamente. Concorda pequeno gafanhoto?

Assim, ficamos com

v + w = 0 ⇒ v = - w

Novamente, se w ∈ W ⇒ - w   ∈ W , de modo que seria impossível termos

V ∩ W = { 0 } .

Se w = 0 , então v = 0 .

Portanto,

u + v + w = 0 ⇒ u = v = w = 0 .

Show de bola?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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