Determine a projeção ortogonalDa reta r : X + 1 = y + 2 = 3 z - 3 sobre o plano π : x - y + 2 z = 0 .

p r o j =- 3 2 , - 3 2 ,0 + t 16 18 ,20 18 , 1 9

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 23a

Determine a projeção ortogonal

Da reta r sobre o plano

Passo 1

Vamos continuaaar !!

De acordo com a equação do plano nós obtemos diretamente o seu vetor normal:

Tomando dois pontos quaisquer da reta r:

Com o vetor normal nós podemos definir as retas perpendiculares ao plano que passam pelos pontos P e P’, não é?

Agora, para determinar o ponto O e O’, que são os pontos cujas coordenadas são a projeção ortogonal sobre o plano dos pontos P e P’, basta encontrar a intersecção entre o plano e a reta r que acabamos de definir.

Para a reta X:

Substituindo x, y e z em função do na equação do plano:

Então agora nós podemos descobrir os valores de x, y e z:

Então o ponto O será .

Passo 2

Para a reta X’:

Então:

Substituindo x, y e z em função do na equação do plano:

Então agora nós podemos descobrir os valores de x, y e z:

Então o ponto O’ será .

Agora que temos os dois pontos a projeção da reta será a reta formada pelos pontos O e O’:

Bora pra (b) ??

Resposta

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Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em s e descreva-o geometricamente.(b) r : X = 1 ,2 ,3 + λ 1 ,2 ,3 s : x + y - z + 1 = 0 2 x - y =

Sejam π 1 : 2 x = y ,π 2 : x = 0 ,π 3 : z = 0 e π 4 o plano determinado por r : X = 1 ,2 ,0 + λ ( 1 ,2 ,- 1 ) e s : x + 1 = z + y = 1 . Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule, se

Verifique, que em cada caso, se existe uma reta s paralela a r e contida em π : x - 2 y + 3 z = 0 .(c) r : X = 1 ,0 ,0 + λ ( - 1 ,1 ,1 ) e s é paralela a O x y .

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em s e descreva-o geometricamente.(c) r : X = 1 ,0 ,0 + λ - 1 ,0 ,1 s : X = 0 ,0 ,1 + μ ( 2 ,1 ,1

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em s e descreva-o geometricamente.(a) r : X = 1 ,2 ,2 + λ 0 ,1 ,1 s : X = 0 ,0 ,0 + μ ( 1 ,0 ,1 )