Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 19
Seja um autovalor da matriz não-singular com autovetor associado . Mostre que é um autovalor de com autovetor associado .
Passo 1
E aí, galerinha! Bom, uma informação muito importante é que a matriz é não-singular, então ela tem inversa. Já sabemos que é um autovalor da matriz com autovetor associado :
Então, vamos usar o velho truque de aplicar pela esquerda em ambos os lados da equação:
Agora, vamos dividir por em ambos os lados:
Ou seja, conseguimos mostrar que é um autovalor de com autovetor associado . Gostou desse truque? Responde Aí!
Resposta
Veja a resolução acima.
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Sejam u → , v → e w → três vetores unitários quaisquer de R 3 , sendo dois a dois ortogonais. Prove que para todo r → do R 3 tem-se: r → = r → ∙ u → u → + r → ∙ v → v → + r → ∙ w → w →
Sejam u → , v → e w → vetores do R 3 . Dizemos que u → , v → e w → são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α ,β e γ , se α u → + β v → + γ w → = 0 → , então α = β = γ = 0 . Prov
Sejam u → e v → dois vetores unitários e ortogonais de R 2 . Prove que para todo w → de R 2 tem-se: w → = w → ∙ u → u → + w → ∙ v → v → .
Sejam u → , v , → w → e r → vetores quaisquer do R 3 ,com u → , v , → w → linearmente independentes. Prove que r → é combinação linear de u → , v , → w → , isto é, existem reais α , β e γ , tais que r
Sejam u → , e v , → vetores não nulos do R 3 . Mostre que u ⋀ v = uv s e n θ , com θ o ângulo entre u → , e v . →