Prove que quaisquer que sejam u com uma seta acima e v-> em R^3

|u^v| ≤ |u||v|

Passo 1

Vamos começar lembrando que:

u → ^ v → = i → j → k → u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3

Lembrando das propriedades de determinantes:

u → ^ v → = u 2 u 3 v 2 v 3 i → - u 1 u 3 v 1 v 3 j → + u 1 u 2 v 1 v 2 k →

Passo 2

Portanto,

u → ^ v → = u 2 v 3 - u 3 v 2 , - u 1 v 3 + u 3 v 1 , u 1 v 2 - u 2 v 1

Em seguida, vamos fazer:

u → ^ v → 2 = u 2 v 3 - u 3 v 2 2 + u 3 v 1 - u 1 v 3 2 + u 1 v 2 - u 2 v 1 2

Passo 3

Vamos agora abrir esses termos ao quadrado:

u → ^ v → 2 = u 2 2 v 3 2 - 2 u 2 u 3 v 2 v 3 + u 3 2 v 2 2 + u 3 2 v 1 2 - 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + u 1 2 v 3 2 + u 1 2 v 2 2 - 2 u 1 u 2 v 1 v 2 + u 2 2 v 1 2

Em seguida, vamos adicionar os termos u i 2 v i 2 somando e subtraindo:

u → ^ v → 2 = u 2 2 v 3 2 - 2 u 2 u 3 v 2 v 3 + u 3 2 v 2 2 + u 3 2 v 1 2 - 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + u 1 2 v 3 2 + u 1 2 v 2 2 - 2 u 1 u 2 v 1 v 2 + u 2 2 v 1 2 + u 1 2 v 1 2 + u 2 2 v 2 2 + u 3 2 v 3 2 - u 1 2 v 1 2 - u 2 2 v 2 2 - u 3 2 v 3 2

u → ^ v → 2 = u 1 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + u 2 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + u 3 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 - 2 u 2 u 3 v 2 v 3 - 2 u 1 u 3 v 1 v 3 - 2 u 1 u 2 v 1 v 2 - u 1 2 v 1 2 - u 2 2 v 2 2 - u 3 2 v 3 2

Juntando os termos que faltaram:

u → ^ v → 2 = u 1 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + u 2 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + u 3 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 - u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 2

u → ^ v → 2 = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 - u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 2

Passo 4

Sabendo que:

u → 2 = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2  

v → 2 = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

u → ∙ v → 2 = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 2

Assim,

u → ^ v → 2 = u → 2 v → 2 - u → ∙ v → 2

Retirando o termo negativo, aumentamos o valor do lado esquerdo, portanto:

u → ^ v → 2 ≤ u → 2 v → 2

u → ^ v → ≤ u → v →

Fim !!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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