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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 18

Prove que quaisquer que sejam vec u e vec v em R^3

||vec u ^ vec v|| <= ||vec u|| ||vec v||

Passo 1

Vamos começar lembrando que:

vec u ^ vec v = |[[vec i,vec j,vec k],[u_1,u_2,u_3],[v_1,v_2,v_3]]|

Lembrando das propriedades de determinantes:

vec u ^ vec v = |[[u_2,u_3],[v_2,v_3]]| vec i - |[[u_1,u_3],[v_1,v_3]]| vec j + |[[u_1,u_2],[v_1,v_2]]| vec k

Passo 2

Portanto,

vec u ^ vec v = (u_2 v_3 - u_3 v_2 , - u_1 v_3 + u_3 v_1 , u_1 v_2 - u_2 v_1)

Em seguida, vamos fazer:

||vec u ^ vec v||^2 = (u_2 v_3 - u_3 v_2)^2 + (u_3 v_1 - u_1 v_3)^2 + (u_1 v_2 - u_2 v_1)^2

Passo 3

Vamos agora abrir esses termos ao quadrado:

||vec u ^ vec v||^2 = u_2^2 v_3^2 - 2 u_2 u_3 v_2 v_3 + u_3^2 v_2^2 + u_3^2 v_1^2 - 2 u_1 u_3 v_1 v_3 + u_1^2 v_3^2 + u_1^2 v_2^2 - 2 u_1 u_2 v_1 v_2 + u_2^2 v_1^2

Em seguida, vamos adicionar os termos u_i^2 v_i^2 somando e subtraindo:

||vec u ^ vec v||^2 = u_2^2 v_3^2 - 2 u_2 u_3 v_2 v_3 + u_3^2 v_2^2 + u_3^2 v_1^2 - 2 u_1 u_3 v_1 v_3 + u_1^2 v_3^2 + u_1^2 v_2^2 - 2 u_1 u_2 v_1 v_2 + u_2^2 v_1^2 + u_1^2 v_1^2 + u_2^2 v_2^2 + u_3^2 v_3^2 - u_1^2 v_1^2 - u_2^2 v_2^2 - u_3^2 v_3^2

||vec u ^ vec v||^2 = u_1^2 (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2) + u_2^2 (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2) + u_3^2 (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2) - 2 u_2 u_3 v_2 v_3 - 2 u_1 u_3 v_1 v_3 - 2 u_1 u_2 v_1 v_2 - u_1^2 v_1^2 - u_2^2 v_2^2 - u_3^2 v_3^2

Juntando os termos que faltaram:

||vec u ^ vec v||^2 = u_1^2 (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2) + u_2^2 (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2) + u_3^2 (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2) - (u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3)^2

||vec u ^ vec v||^2 = (u_1^2 + u_2^2 + u_3^2) (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2) - (u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3)^2

Passo 4

Sabendo que:

||vec u||^2 = (u_1^2 + u_2^2 + u_3^2)

||vec v||^2 = (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2)

(vec u * vec v)^2 = (u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3)^2

Assim,

||vec u ^ vec v||^2 = ||vec u||^2 ||vec v||^2 - (vec u * vec v)^2

Retirando o termo negativo, aumentamos o valor do lado esquerdo, portanto:

||vec u ^ vec v||^2 <= ||vec u||^2 ||vec v||^2

||vec u ^ vec v|| <= ||vec u|| ||vec v||

Fim !!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determinar k para que{[[[1,0],[1,0]]] , [[[1,1],[0,0]]] , [[[2,-,1],[k,0]]]} seja L D .
Mostrar que se u , v e w são L I , então u + v , u + w e v + w são também L I .
Determinar o valor de k para que seja L I o conjunto { - 1 ,0 ,2 ,( 1 ,1 ,1 ) ,( k ,- 2 ,0 ) }
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores do R^4 são L D ?(2 , 1 , 0 , 0) , (1 , 0 , 2 , 1) , (- 1 , 2 , 0 , - 1) (0 , 1 , 0 , - 1) , (1 , 1 , 1 , 1) , (- 1 , 2 , 0 , 1) , (1 , 2 , 1 , 0) (1 , - 1 , 0