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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 12

Sejam    u → e   v → dois vetores unitários e ortogonais do R 2 . Prove que u → e   v → são linearmente independentes.

Passo 1

Para provar que dois vetores são linearmente independentes, é preciso verificar o comportamento da combinação linear entre eles resultando no vetor nulor, isto é:

α u → + β v → = 0 →

Se os vetores forem LI, os únicos valores das constantes que satisfazem essa igualdade são α=β=0.

Outra propriedade é que se u → e   v → forem ortogonais então o produto interno entre eles é 0:

u → ∙ v →   = 0  

E o produto interno de um vetor com si mesmo é seu módulo ao quadrado:

w → ⋅ w → = w → 2

Passo 2

Basta multiplicarmos nossa combinação linear por u → e utilizar a propriedade do produto interno entre vetores ortogonais:

u → ∙ ( α u → + β v → ) = u → ∙ 0 →

α ( u → ∙ u → ) ⏟ u → 2 + β ( u → ∙ v → ) ⏟ 0 = u → ∙ 0 → ⏟ 0

Obtendo:

α u → 2 = 0

Como o vetor u → é unitário, então u → = 1 , logo:

α . 1 2 = 0

α = 0

Passo 3

Repentindo o passo anterior, mas dessa vez multiplicando tudo por v → , temos:

v → ∙ ( α u → + β v → ) = u → ∙ 0 →

α ( u → ∙ v → ) ⏟ 0 + β ( v → ∙ v → ) ⏟ v → 2 = v → ∙ 0 → ⏟ 0

Obtendo:

β v → 2 = 0

Como o vetor v → é unitário, então v → = 1 , logo:

β . 1 2 = 0

β = 0

Resposta

Como α = β = 0 , os vetores são linearmente independentes, pois essas são as únicas constantes que satisfazem a combinação linear α u → + β v → = 0 →

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