Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 12

Sejam e dois vetores unitários e ortogonais do . Prove que e são linearmente independentes.

Passo 1

Para provar que dois vetores são linearmente independentes, é preciso verificar o comportamento da combinação linear entre eles resultando no vetor nulor, isto é:

Se os vetores forem LI, os únicos valores das constantes que satisfazem essa igualdade são α=β=0.

Outra propriedade é que se e forem ortogonais então o produto interno entre eles é 0:

E o produto interno de um vetor com si mesmo é seu módulo ao quadrado:

Passo 2

Basta multiplicarmos nossa combinação linear por e utilizar a propriedade do produto interno entre vetores ortogonais:

Obtendo:

Como o vetor é unitário, então , logo:

Passo 3

Repentindo o passo anterior, mas dessa vez multiplicando tudo por , temos:

Obtendo:

Como o vetor é unitário, então , logo:

Resposta

Como , os vetores são linearmente independentes, pois essas são as únicas constantes que satisfazem a combinação linear

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam u → , v → e w → vetores do R 3 . Dizemos que u → , v → e w → são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α ,β e γ , se α u → + β v → + γ w → = 0 → , então α = β = γ = 0 . Prov

Sejam u → e v → dois vetores unitários e ortogonais de R 2 . Prove que para todo w → de R 2 tem-se: w → = w → ∙ u → u → + w → ∙ v → v → .

Sejam u → , v , → w → e r → vetores quaisquer do R 3 ,com u → , v , → w → linearmente independentes. Prove que r → é combinação linear de u → , v , → w → , isto é, existem reais α , β e γ , tais que r

Sejam u → , e v , → vetores não nulos do R 3 . Mostre que u ⋀ v = uv s e n θ , com θ o ângulo entre u → , e v . →

Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2 × 3 . Verificar se { A ,B ,C } é L I ou L D , sendo: A = - 1 2 13 - 2 4 B = 0 - 1 2 - 2 1 0 C = - 1 0 5 - 1 0 3