Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 6
Seja o plano . Obtenha uma base de tal que e pertençam a .
Passo 1
Oiie, tudo certinho? Vamos começar?
A primeira coisa aqui é notar que temos apenas uma equação, mas para determinar os três vetores, é necessário estabelecer três parâmetros. Nesta situação é conveniente para nós escolhermos um valor arbitrário para dois deles, no caso:
Se usar (1) na equação do plano, você obtém para o seguinte:
Ou seja, para qualquer valor que escolhermos de , temos que os pontos em nosso plano respeitam a seguinte expressão:
Vamos ver como isso serve para encontrarmos os nossos vetores de base, beleza?
Passo 2
Um elemento qualquer de , tal como a equação (3), pode ser escrito como uma combinação linear de vetores. Aqui está o pulo do gato, se temos 2 parâmetros livres, vamos escrever a equação (3) em termos de dois vetores, relacionados a cada parâmetro, olha só:
Identificando e . Eles serão uma base do se forem linearmente independentes, beleza? Vamos checar isso!
Passo 3
Estes vetores são linearmente independentes se considerando o seguinte:
A única solução possível é se . E isso é verdade, olha só, tem componente nulo e tem um componente não nulo em , isso já é o suficiente! Portanto formam uma base em para o nosso plano, mas precisamos de um terceiro vetor de base para que tenhamos uma base no , vamos procurar isso!
Passo 4
Um vetor que não pertença ao plano é um vetor tal que , em que . Aqui por exemplo poderíamos ter um vetor do tipo . A questão foi isso! Te vejo na próxima, Tchauzinho!