Mostre que o conjunto de todos os vetores de V (espaço com produto interno) ortogonais a um dado vetor V , { X ∈ V   | < X , V >   = 0 }   é um subespaço de V .

Passo 1

Olá, jovem! Ficou com dúvida nesta questão? Não tem problema, vem comigo que a gente Responde Aí!

Para mostrar que o conjunto { X ∈ V   | < X , V >   = 0 }   é subespaço, temos que testar as condições de subespaço:

I - O vetor nulo pertence ao conjunto:

Para mostrar isso, temos que verificar se o vetor nulo é ortogonal a V

< V , 0 ̄ >   = 0

Mas isso é sempre verdade, não importa qual seja o vetor V . Assim, o vetor nulo pertence ao conjunto.

Passo 2

II - Se X , Y pertencem ao conjunto, então X + Y também deve pertencer. Ou seja, X + Y tem que ser ortogonal a V :

< V , X + Y >   = 0   ⇒   < V , X >   +   < V , Y >   = 0

Sabemos que < V , X >   =   0   ⇒ < V , Y >   = 0 . Check!

III - Se X pertencem ao conjunto, então α X também deve pertencer:

< V , α X >   =   α < V , X >   =   0  

Check!

Como essas três propriedades foram satisfeitas, quer dizer que { X ∈ V | < X , V >   = 0 }   é um subespaço de V .

Resposta

Veja a resolução acima.

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