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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 10

Mostre que o conjunto de todos os vetores de V (espaço com produto interno) ortogonais a um dado vetor V , { X ∈ V   | < X , V >   = 0 }   é um subespaço de V .

Passo 1

Olá, jovem! Ficou com dúvida nesta questão? Não tem problema, vem comigo que a gente Responde Aí!

Para mostrar que o conjunto { X ∈ V   | < X , V >   = 0 }   é subespaço, temos que testar as condições de subespaço:

I - O vetor nulo pertence ao conjunto:

Para mostrar isso, temos que verificar se o vetor nulo é ortogonal a V

< V , 0 ̄ >   = 0

Mas isso é sempre verdade, não importa qual seja o vetor V . Assim, o vetor nulo pertence ao conjunto.

Passo 2

II - Se X , Y pertencem ao conjunto, então X + Y também deve pertencer. Ou seja, X + Y tem que ser ortogonal a V :

< V , X + Y >   = 0   ⇒   < V , X >   +   < V , Y >   = 0

Sabemos que < V , X >   =   0   ⇒ < V , Y >   = 0 . Check!

III - Se X pertencem ao conjunto, então α X também deve pertencer:

< V , α X >   =   α < V , X >   =   0  

Check!

Como essas três propriedades foram satisfeitas, quer dizer que { X ∈ V | < X , V >   = 0 }   é um subespaço de V .

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que P 2 tenha o produto interno: p , q = ∫ - 1 1 p x q x d x Encontre p com p = 1 , p = x e p = x 2 Encontre d p , q com p = 1 e q = x .
Sejam u = u 1 , u 2 , u 3 e v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) . Em cada parte, determine se a expressão é um produto interno em R 3 . Se não for, liste os axiomas que não valem. u , v = u 1 v 1 + u 3 v 3 u , v
Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 e u = 3 , - 2 , v = 4,5 , w = - 1,6 e k = - 4 . Verifique as expressões dadas. u , v = v , u u + v , w = u , w + v , w u , v + w = u , v + u , w a u , v
Prove: se u , v for um produto euclidiano de R n e se A for uma matriz n × n , então u , A v = A T u . v [Sugestão: use o fato de que u , v = u . v = v T u .]
Use a desigualdade Cauchy-Schwarz para mostrar que a 1 + a 2 + … + a n 1 a 1 + 1 a 2 + … + 1 a n ≤ n 2 Quaisquer que sejam os números reais positivos a 1 ,a 2 , … , a n .