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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 5

Use a desigualdade Cauchy-Schwarz para mostrar que

a 1 + a 2 + … + a n 1 a 1 + 1 a 2 + … + 1 a n ≤ n 2

Quaisquer que sejam os números reais positivos a 1 ,   a 2 , … , a n .

Passo 1

Oieee... Como cê tá?

Essa questão é basicamente colocar na fórmula e ver no que dá. Melzinho na chupeta... então bora!

Passo 2

Vamos primeiro identificar os termos:

u = a 1 , … , a n

v = 1 a 1 , … , 1 a n

Fórmula da desigualdade de Cauchy-Schwarz

Substituindo pela fórmula de baixo, temos:

u . v 2 = a 1 , … , a n 1 a 1 , … , 1 a n ≤ u 2 v 2

Anulando as raízes que estão multiplicando com as que estão dividindo fica:

u . v 2 = 1 + … 1 2 ≤ u 2 v 2

Ou a gente pode deixar em uma forma mais geral:

n 2 ≤ a 1 , … , a n 1 a 1 , … , 1 a n

Terminamos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Repita o E x e r c í c i o5 í com o produto interno em R 2 gerado por 1 20 - 1 .
Repita o E x e r c í c i o3 í com o produto interno euclidiano ponderado u , v = 4 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 .
Suponha que P 2 tenha o produto interno: p , q = ∫ - 1 1 p x q x d x Encontre p com p = 1 , p = x e p = x 2 Encontre d p , q com p = 1 e q = x .
Sejam u = u 1 , u 2 , u 3 e v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) . Em cada parte, determine se a expressão é um produto interno em R 3 . Se não for, liste os axiomas que não valem. u , v = u 1 v 1 + u 3 v 3 u , v
Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 e u = 3 , - 2 , v = 4,5 , w = - 1,6 e k = - 4 . Verifique as expressões dadas. u , v = v , u u + v , w = u , w + v , w u , v + w = u , v + u , w a u , v