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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 30

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Vértice em 5 , - 1 e 5,5 e excentricidade 2

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o real é paralelo ao eixo O y , pois os pontos tem o valor x constante igual a 5 , assim a equação vai ser da forma:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos os dois vértices em 5 , - 1 e 5,5 , vamos ver esses pontos no gráfico:

Temos então que a distância entre os dois vértices é igual a 2 a , então vamos achar a :

2 a = 5 - - 1 → 2 a = 5 + 1 → 2 a = 6 → a = 3

Agora que temos o valor de a podemos usar a informação do enunciado sobre a excentricidade, ela é calculada por:

e = c a

Vamos então encontrar o valor de c :

e = c a → 2 = c 3 → c = 6

Precisamos agora encontrar b , e para isso podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 6 2 = 3 2 + b 2 → 36 = 9 + b 2 → b 2 = 27 → b = 27

Passo 3

Vamos também encontrar os focos para montar o gráfico, como a distância do centro aos focos é de c = 6 , temos então que as coordenadas y deles são:

2 + 6 = 8

2 - 6 = - 4

E a x é constante e igual à 5 , assim os focos são F 1 5,8 e F 2 5 , - 4 .

Além do centro C h , k ser o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2 ele também é o ponto médio dos segmentos dos vértices A 1 A 2 , assim temos:

h = 5

k = 2

O centro é então C 5,2 .

Passo 4

Pronto, vamos agora substituir os valores na equação da hipérbole, o centro C 5,2 , a = 3 e b = 27 :

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1 → y - 2 2 3 2 - x - 5 2 27 2 = 1 →

→ y 2 - 4 y + 4 9 - x 2 - 10 x + 25 27 = 1 → 3 y 2 - 12 y + 12 - x 2 - 10 x + 25 27 = 27 27 →

→ 3 y 2 - 12 y + 12 - x 2 + 10 x - 25 27 = 27 27 → - x 2 + 3 y 2 + 10 x - 12 y - 13 = 27 →

→ - x 2 + 3 y 2 + 10 x - 12 y - 13 - 27 = 0 → - x 2 + 3 y 2 + 10 x - 12 y - 40 = 0

Assim conseguimos então a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas, e ela é:

- x 2 + 3 y 2 + 10 x - 12 y - 40 = 0

Passo 5

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, - x 2 + 3 y 2 + 10 x - 12 y - 40 = 0 :

Resposta

- x 2 + 3 y 2 + 10 x - 12 y - 40 = 0

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