Enunciado

Determinar os focos da hipérbole de equações x = 4 + sqrt(5) tan theta e y = - 5 + 2 sec theta

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Pra começar, você identifica que temos equações paramétricas da hipérbole? Então vou revisar com você o que significa cada parâmetro. Temos que a coordenada x está relacionada com a tangente, então já sabemos que essa hipérbole é de pé =D

O conjunto de equações paramétricas de uma hipérbole de pé é:

{[[x = b tan theta + h],[y = a sec theta + k]])

Lembrando que o centro dessa hipérbole é o ponto C ( h , k ) . E temos a relação geral que nos dá o valor de c que é a distância entre o centro e um dos focos:

c^2 = a^2 + b^2

Ah! Mais uma coisinha: como a hipérbole é de pé, então o x do centro é o mesmo pros dois focos. Já a coordenada y (que é a ordenada k ) vai estar deslocada + c pra cima pra um do focos e – c pra baixo pro outro. Ficando assim:

F_1 = ( h , k + c )

F_2 = ( h , k - c )

Beleza?

Passo 2

Agora vamos resgatar do enunciado as equações paramétricas:

{[[x = sqrt(5) tan theta + 4],[y = 2 sec theta - 5]])

Comparando com a forma geral:

{[[x = b tan theta + h],[y = a sec theta + k]])

Então temos que o centro é C (h , k) = ( 4 , - 5 ) . Temos também que a = 2 e b = sqrt(5) . O valor de c sai da relação fundamental:

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = (2)^2 + (sqrt(5))^2 = 4 + 5

c^2 = 9

c = +- 3

Tranquilo?

Passo 3

A hipérbole é de pé, então o x dos focos é o mesmo x do centro. Chamando F_1 e F_2 dos focos, sabemos que a abscissa do centro vale 4 , então:

F_1 = ( 4 , ? )

F_2 = ( 4 , ? )

E os pontos de interrogação?se você lembrar do passo 1 , o y dos focos vai ser a ordenada do centro e mais ou menos o valor de c , já que os focos estão posicionados simetricamente em torno do centro. Daí temos:

F_1 = ( h , k + c )

F_2 = ( h , k - c )

O h já sabemos que vale 4 . O k é - 5 e temos que c = +- 3 , pois vai pra cima e para baixo três unidades. Daí as coordenadas dos focos são:

F_1 = ( 4 , - 5 + 3 )

F_2 = ( 4 , - 5 - 3 )

Finalmente:

F_1 = ( 4 , - 2 )

F_2 = ( 4 , - 8 )

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

F_1 = ( 4 , - 2 )

F_2 = ( 4 , - 8 )

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