Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 22
O vértice de uma pirâmide regular é e sua base é um quadrado contido no plano . Sendo , determine os outros três vértices.
Passo 1
É importante começarmos a questão entendendo o que é uma pirâmide de base quadrada regular. Uma pirâmide regular é uma pirâmide cujos lados triangulares são triângulos isósceles.
Esta pirâmide possui uma característica bastante interessante. Se projetarmos o vértice na base , a projeção será o ponto , o qual é o ponto médio do quadrado!
E a relação dos outros vértices com a aresta será a chave para resolvermos a questão!
Passo 2
Nosso primeiro passo será criar uma reta perpendicular ao plano e que passa por . Se a reta é perpendicular ao plano , sabemos automaticamente qual é o vetor diretor da reta!
E ele é quem? O vetor normal do plano! Logo, . Então, escrevemos a seguinte equação da reta:
Mas para que construímos esta reta? A nossa intenção é fazer a interseção da reta com o plano para conseguir o ponto . Construímos ela somente para isto!
Então, calculando a interseção da reta com o plano, temos:
Então, o ponto será:
Passo 3
E agora? O que fazer? A dica é lembrar da geometria do quadrado!
Nosso primeiro vértice será o mais fácil, o vértice oposto ao vértice . Isto é, o da diagonal (vamos dizer que é o vértice para facilitar).
Portanto, vamos encontrar o vértice , tal que o segmento é diagonal do quadrado. Este ponto será expresso exatamente por:
Já que o ponto é o ponto médio da diagonal . Portanto,
Passo 4
E agora? O que fazer para encontrarmos os vértices e ?
Então, o nosso primeiro passo é lembrar que a diagonal é perpendicular a diagonal . Esta relação é chave para conseguirmos escrever a reta da diagonal .
Então, vamos bem devagar. Queremos um vetor diretor . Quem é , e ? Não sabemos ainda.
O que sabemos é que pertence ao plano . Portanto, é ortogonal ao seu vetor normal. Logo, temos a seguinte relação matemática:
Então, o vetor que estamos buscando possui o seguinte formato: . Precisamos de mais uma relação! E para isto, vamos utilizar outra relação de ortogonalidade!
As diagonais e de um quadrado não são perpendiculares? Então, os vetores e , representantes das diagonais e , respectivamente, são ortogonais. E se temos vetores ortogonais........ temos:
Agora é só completar a relação acima!
Portanto, o vetor que buscamos é . E este ai dentro? Tanto faz qual o valor dele, pois o que queremos é manter a direção! Então, se escolhermos , temos e a seguinte reta:
Passo 5
Para finalizarmos a questão, vamos descobrir os valores de que satisfazem a relação de distância do centro do quadrado ao vértice.
Isto é, para pertencente a reta , quais os valores de que nos darão os pontos e ? Para isto, basta usarmos a seguinte relação:
Portanto,
Portanto, finalizando a questão, temos os seguintes vértices: