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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 15

Mostre que se A^t = A^(- 1) , então det ( A ) = +- 1

Passo 1

Pelas propriedades das matrizes e seus determinantes, sabemos o seguinte:

det ( A^t ) = det ( A ) (Teorema 2.14 b)

E

det (A^(- 1)) = (1)/(det ( A ))

Passo 2

Como foi dito que A^t = A^(- 1) , então disso tiramos que:

det ( A^t ) = det (A^(- 1))

Dessa forma:

det ( A^t ) = (1)/(det ( A ))

Mas temos que det ( A^t ) = det ( A ) , logo:

det ( A ) = (1)/(det ( A ))

Manipulando algebricamente:

det ( A ) * det (A) = 1

Ou seja:

( det ( A ) )^2 = 1

Calculando a raiz quadrada dos dois lados:

det ( A ) = sqrt(1)

Dessa forma:

det ( A ) = +- 1

Resposta

det ( A ) = sqrt(1) = +- 1

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