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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 10a

Mostre que a matriz A = a b c d

é inversível se, e somente se, a d - b ≠ 0 e neste caso a inversa e dada por

A - 1 = 1 a d - b c d - c - b a

Passo 1

Faaaala galeera

Vamos calcular a inversa da seguinte matriz:

A = a b c d

a b c d = 1 0 0 1

Vamos a primeira coluna

l i n h a 1 = 1 a l i n h a 1

Dividindo por “a”, temos:

1 b / a c d = 1 / a 0 0 1

l i n h a 2 = l i n h a 2 - c l i n h a 1

Realizando a operação

1 b / a 0 a d - b c a = 1 / a 0 - c / a 1

Passo 2

Agora vamos nos concentrar na segunda coluna

1 b / a 0 a d - b c a = 1 / a 0 - c / a 1

l i n h a 2 = a / a d - b c l i n h a 2

Ficamos com isso

1 b / a 0 1 = 1 / a 0 - c a d - b c a a d - b c

Agora a última operação

l i n h a 1 = l i n h a 1 – b / a l i n h a 2

1 0 0 1 = d a d - b c - b a d - b c - c a d - b c a a d - b c

Passo 3

Colocando em evidência

1 0 0 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Concluímos que a inversa da matriz é dada pela expressão acima, e como

a d - b c

É o divisor, temos:

a d - b c ≠ 0

Resposta

Demonstração nos passos da questão

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Encontre os valores de k com os quais A é invertível.A = ([[k,2],[2,k]])