Responde Aí
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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 16

Mostre que se α é um escalar e A é uma matriz nxn, então det ⁡ α A =   α n det ⁡ ( A ) .

Passo 1

Faaala!!! Vamos para mais uma resolução aqui no Responde Aí!

Vamos começar explicitando uma matriz A nxn qualquer, como 2x2 ou 3x3:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Multiplicando essas matrizes por um escalar α teríamos:

A =   α a 11 α a 12 α a 21 α a 22

A = α a 11 α a 12 α a 13 α a 21 α a 22 α a 23 α a 31 α a 32 α a 33

Passo 2

Calculando primeiro o determinante da matriz 2x2:

det ⁡ α a 11 α a 12 α a 21 α a 22 =   α a 11 ∙ α a 22 - α a 12 ∙ α a 21 = α 2 ( a 11 ∙ a 22 - a 12 ∙ a 21 )

Sabendo que det a 11 a 12 a 21 a 22 ⁡ = a 11 ∙ a 22 - a 12 ∙ a 21  

Fica claro que, nesse caso, det ⁡ α A =   α n det ⁡ ( A )

Passo 3

Agora, para a matriz 3x3:

det ⁡ α a 11 α a 12 α a 13 α a 21 α a 22 α a 23 α a 31 α a 32 α a 33 =

α a 11 ∙ α a 22 ∙ α a 33 + α a 12 ∙ α a 23 ∙ α a 31 + α a 13 ∙ α a 21 ∙ α a 32 - α a 13 ∙ α a 22 ∙ α a 31

- α a 12 ∙ α a 21 ∙ α a 33 - α a 11 ∙ α a 23 ∙ α a 32 =

α 3 ( a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 + a 12 ∙ a 23 ∙ a 31 + a 13 ∙ a 21 ∙ a 32 - a 13 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 12 ∙ a 21 ∙ a 33 - a 11 ∙ a 23 ∙ a 32 )

Sabendo que det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ⁡ =

a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 + a 12 ∙ a 23 ∙ a 31 + a 13 ∙ a 21 ∙ a 32 - a 13 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 12 ∙ a 21 ∙ a 33 - a 11 ∙ a 23 ∙ a 32

Fica claro que, nesse caso, também ocorre que det ⁡ α A =   α n det ⁡ ( A ) .

Generalizando, temos que para todo n real, det ⁡ α A =   α n det ⁡ ( A )

Resposta

det ⁡ α A =   α n det ⁡ ( A )

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