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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 8

Mostre que a equação da hipérbole com focos nos pontos F 1 = ( x 0 - c , y 0 ) e F 2 = ( x 0 + c , y 0 ) e satisfaz d i s t P , F 1 - d i s t P , F 2 = 2 a em que a < c é x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1 ,   em que b =   c 2 - a 2 .

Passo 1

Fala aeee, blz? ;D

Sendo P = ( x , y ) um ponto qualquer, temos:

d i s t P , F 1 - d i s t P , F 2 = 2 a

x - x 0 + c 2 + y - y 0 2 - x - x 0 - c 2 + y - y 0 2 = ± 2 a

Elevando os dois lados ao quadrado:

x - x 0 + c 2 + y - y 0 2 = ± 4 a 2 ± 4 a x - x 0 - c 2 + y - y 0 2 + x - x 0 - c 2 + y - y 0 2

4 x c - 4 x 0 c = ± 4 a 2 ± 4 a x - x 0 - c 2 + y - y 0 2

Simplificando:

x c - x 0 c = ± a 2 ± a x - x 0 - c 2 + y - y 0 2

Elevando novamente os dois lados ao quadrado e simplificando:

c x - x 0 ± a 2 =   ± a x - x 0 - c 2 + y - y 0 2

H :   x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

E q u a ç ã o   c a r a c t e r i s t i c a   d e   u m a   h i p é r b o l e .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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