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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 40

Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.

9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 8 y + 113 = 0

Passo 1

E aí, tudo joinha?

Bora resolver mais essa?

Seguinte, nos deram essa equação geral:

9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 8 y + 113 = 0

E nos pediram a equação reduzida dela, que é de uma dessas formas aqui:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

o u

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Onde ( h , k ) é o centro, beleza?

Vamos lá então...

Passo 2

A gente tem que completar os quadrados na equação, então é o seguinte:

9 x 2 - 6 x - 4 y 2 - 2 y = - 113

9 x 2 - 6 x + 9 ⏟ - 9 - 4 y 2 - 2 y + 1 ⏟ - 1 =   - 113

9 x - 3 2 - 81 - 4 y - 1 2 + 4 = - 113

9 x - 3 2 - 4 y - 1 2 = - 113 + 81 - 4

9 x - 3 2 - 4 y - 1 2 =   - 36

(dividimos tudo por - 36 agora...)

y - 1 2 9 - x - 3 2 4 = 1

Prontinho! Chegamos à equação reduzida da hipérbole!

Passo 3

Agora a gente tem que achar os centros, os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas...

Bom, pela equação ali a gente tira que a = 3 ,   b = 2 e podemos achar o c utilizando a relação:

c 2 = 9 + 4

c 2 = 13

c = 13

Vemos também que a nossa hipérbole tem eixo real paralelo ao eixo y (a parte que tá positiva), então os vértices são determinados andando a unidades em y a partir do centro.

Aliás, o centro ali é C = ( 3,1 ) , certinho?

Passo 4

Vamos continuar então...

Os vértices são:

A 1 3 , - 2     e     A 2 ( 3,4 )

Pra achar os focos a gente anda c   unidades a partir do centro:

F 1 3 ,   1 - 13     e       F 2 ( 3 ,   1 + 13 )

E excentricidade é e = c a , então:

e = 5 2

Falta achar as assíntotas, pra isso, a gente pode pegar nossa equação reduzida e igualar a zero:

y - 1 2 9 - x - 3 2 4 = 1

Aí aqui a gente vai desenvolver essa expressão:

y - 1 2 9 - x - 3 2 4 = 0

4 y - 1 2 36 - 9 x - 3 2 36 = 0

4 y - 1 2 - 9 x - 3 2 = 0

4 y - 1 2 = 9 x - 3 2

y - 1 2 = 9 4 x - 3 2  

y - 1 =   ± 9 4 x - 3 2

y - 1 =   ± 3 2 ( x - 3 )

As assíntotas então são:

y - 1 = 3 2 x - 9 2 → 3 x - 2 y - 7 = 0

y - 1 = - 3 2 x + 9 2 → 3 x + 2 y - 11 = 0

Ufaaa! Todos os elementos da hipérbole foram encontrados! 😉

Passo 5

E pra encerrar com chave de ouro, o esboço do gráfico:

Resposta

Equação reduzida:   y - 1 2 9 - x - 3 3 4 = 1

Centro: ( 3,1 )

Vértices:   A 1 3 , - 2     e     A 2 ( 3,4 )  

Focos:   F 1 3 ,   1 - 13     e       F 2 ( 3 ,   1 + 13 )

Excentricidade:   e = 13 3

Assíntotas: 3 x - 2 y - 7 = 0     e     3 x + 2 y - 11 = 0    

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