Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 44
Mostre que a interseção dos planos , e contém um único ponto e determine suas coordenadas. Calcule o volume do paralelepípedo (SO) que tem faces contidas em , e e diagonal , sendo .
Passo 1
Antes de começarmos a discutir sobre como calcular o volume do paralelepípedo, vamos descobrir as coordenadas do ponto , dada pela interseção dos três planos.
Então, vamos começar determinando a reta dada pela interseção do plano e . Logo,
Portanto, um ponto pertence a reta se, e somente se:
Massa! Chegamos a reta ! Agora, vamos fazer a sua interseção com o plano . Então, substituindo as coordenadas do ponto na equação do plano , temos:
Por fim, o ponto dado pela interseção dos três planos é .
Passo 2
Agora, podemos ir para a parte do volume, o que é bastente interessante e é a grande dificuldade da questão.
Se tentarmos descobrir os vértices para assim calcular o volume do paralelepípedo, teremos um grandeeee trabalho! Bota grande nisto. Então, precisamos de uma abordagem diferente.
Primeiro, observem que os três planos são transversais dois a dois (os vetores normais não são paralelos). Então, se a gente faz um desenho abstrato do nosso paralelepípedo, nos temos as seguintes figuras:
As posições dos planos foram escolhidas arbitrariamente, mas o que importa é a ideia por trás.
Sabendo que , e são os vetores normais aos planos , e , então, o vetor é paralelo ao vetor . O mesmo acontecerá com o vetor e , que serão paralelos aos vetores e , respectivamente.
Calculando cada um destes produtos vetoriais, temos:
Mas, o que significa matematicamente a relação de paralelismo de vetores? Nada mais é do que:
Passo 3
Caramba, a gente conseguiu escrever cada um dos vetores em função dos vetores normais dos planos! Massa!!!
Mas sim, pra que diabos a gente fez isso?
Lembram qual foi a ferramenta que aprendemos a calcular volumes de paralelepípedos? Sim, foi o produto misto! Então, o volume deste sólido será:
Só que a gente não pode calcular ele ainda, já que não sabemos direito quem são os vetores... Precisamos descobrir ainda os valores de , e .
E como faremos isto? Simples. Nós não temos as coordenadas dos pontos e ? Então,
Mas também poderíamos calcular este vetor de uma forma diferente, utilizando os vetores , e . Basta perceber que:
E essa é a sacada para descobrir os valores de , e .
Passo 4
Agora, vamos desenvolver a relação escrita no final do Passo 3 e descobrir os valores de , e . Então, vamos as contas!
Analisando coordenada a coordenada, temos o seguinte sistema:
Resolvendo-o, temos:
Portanto, temos , e . Desta forma, os vetores , e são:
Passo 5
Estamos quase acabando! Para finalizarmos a questão mesmo, basta calcular o produto misto descrito no Passo 3. Então, vamos as contas!
E assim finalizamos a questão!