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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 49

O triângulo retângulo A B C tem um vértice na reta r : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 ) . Sendo A = ( 0 ,   1 ,   8 ) e B = ( - 3 ,   0 ,   9 ) , determine C .

Passo 1

Sabemos que um dos vértices está na reta r , certo?

Os vértices A = ( 0 ,   1 ,   8 ) e B = ( - 3 ,   0 ,   9 ) não estão na reta r , pois não existe λ tal que

( 0 ,   1 ,   8 ) = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Ou

( - 3 ,   0 ,   9 ) = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Logo, o único vértice que pode estar na reta r é o vértice C né? Hehe

Passo 2

Como o vértice C está na reta r : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 ) , ele pode ser escrito assim:

C = 1 + λ ,   2 + λ ,   3 - λ

Uma informação interessante nesse caso, é que o triângulo é retângulo, então, ele possui um ângulo de 90 ° de tal forma que

A B → . A C → = 0

Sabendo que A B → = B - A = ( - 3 ,   - 1 ,   1 ) e A C → = C - A = ( 1 + λ ,   1 + λ ,   - 5 - λ ) , temos:

- 3 ,   - 1 ,   1 . 1 + λ ,   1 + λ ,   - 5 - λ = 0

- 3 - 3 λ - 1 - λ - 5 - λ = 0

- 5 λ = 9

λ ' = - 9 5

Ebaa, encontramos um valor de λ que faz o triângulo ser retângulo, aí é só substituir no ponto C :

C = 1 + λ ,   2 + λ ,   3 - λ

C ' = - 4 5 , 1 5 , 24 5

Passo 3

O ponto C ' é a única opção para um vértice do triângulo? Nãooo

No passo anterior, fizemos caso o triângulo seja retângulo em A , mas e se ele for retângulo em B ??

Aí temos

B A → . B C → = 0

Como B A → = A - B = ( 3 ,   1 ,   - 1 ) e B C → = C - B = ( - 2 + λ ,   2 + λ ,   - 6 - λ ) , então:

3 ,   1 ,   - 1 . - 2 + λ ,   2 + λ ,   - 6 - λ = 0

- 6 + 3 λ + 2 + λ + 6 + λ = 0

5 λ = - 2

λ ' ' = - 2 5

Substituindo no ponto C , temos

C = 1 + λ ,   2 + λ ,   3 - λ

C ' ' = 3 5 , 8 5 , 17 5

Resposta

C ' = - 4 5 , 1 5 , 24 5

C ' ' = 3 5 , 8 5 , 17 5

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