Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 23b
Sejam e . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a com uma extremidade em e outra em . Descreva o lugar geométrico.
(b) e
Passo 1
(b) Vamos começar descobrindo quais são os segmentos que cruzam e ao mesmo tempo.
Bom, todos os pontos que estão em obedecem essa relação aqui:
E a reta é um pouco mais complicada, porque é a solução de um sistema de duas equações:
Para resolver ele, vamos começar somando as duas equações:
Substituindo isso na primeira equação:
Então todos os pontos da reta tem essa forma aqui:
E a gente pode escrever a reta com essa equação vetorial aqui:
Ok, vamos em frente.
Passo 2
Bom, olha só o que aconteceu agora. A reta é:
E a reta :
As duas têm o mesmo vetor diretor! Isso quer dizer que elas são paralelas.
Mas vamos supor que você não tenha percebido isso. A ideia é resolver a questão só usando álgebra, sem exigir que você perceba coisas desse tipo.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar as retas ligando e que sejam paralelas ao segmento :
Como é a forma geral das retas que ligam e ?
O que tem que acontecer para que um desses segmentos seja paralelo a ?
Certo? Aqui o é uma constante qualquer. Então vamos substituir:
Dá pra transformar isso em um sistema de três equações:
Passo 4
Agora o próximo passo é resolver esse sistema. Vamos escrevê-lo em forma de matriz:
Então vamos tentar escalonar o sistema. Primeiro escrevemos dessa forma aqui:
Vamos multiplicar a primeira linha por e somar com a segunda:
E multiplicar a primeira linha por e somar com a terceira:
Agora vamos multiplicar a segunda linha por e somar com a terceira:
Olhe para a última linha da matriz, ela diz o seguinte:
Essa equação não tem solução possível, isso quer dizer que não existe solução para o nosso sistema.
Ou seja, nenhum dos segmentos é paralelo ao segmento .
Resposta
(b) Nenhum dos segmentos é paralelo a . O lugar geométrico é vazio.