Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 40

Sejam , , e .

Prove que existe um único ponto comum às retas , e e calcule suas coordenadas.

Os pontos , e pertencem, respectivamente, a , e . Calcule suas coordenadas, sabendo que o plano é paralelo a e o volume do tetraedro é (SO).

Passo 1

Vamos provar a letra a) da forma mais simples: determinando o próprio ponto.

Como assim isto prova? Vejam só, vamos fazer a interseção da reta com a reta . Como elas não são paralelas (basta verificar que os vetores diretores não são paralelos), temos apenas duas possibilidades: retas reversas ou coincidentes.

Em outras palavras, a interseção é apenas um ponto ou nada. Como a questão pede para determinar este ponto interseção das 3 retas, é claro que as retas e tem o ponto como única interseção.

Depois, vamos pegar este ponto e substituir na equação da reta para verificar se existe algum valor de que satisfaz. E novamente, é claro que existirá.

Passo 2

Então, vamos começar fazendo a interseção da reta e da reta . Sendo assim, temos que resolver o seguinte sistema:

Em relação ao sistema acima, o primeiro membro consiste das coordenadas da reta e o segundo membro as coordenadas da reta . Agora, vamos descobrir os valores de e que satisfazem o sistema. Portanto,

Portanto, existe uma interseção (terceira equação é uma verdade). E este ponto será .

Agora, vamos confirmar que este ponto também pertence a reta . Portanto, vamos verificar se existe tal que:

Então, se , temos:

Logo, temos uma verdade. Portanto, o único ponto da interseção de e também pertence a reta . Assim, provamos a afirmativa da questão!

Passo 3

Agora vamos com calma.

Sabemos que os pontos , e pertencem as retas , e , respectivamente. Consequentemente, eles satisfazem as suas equações.

Sendo assim, podemos dizer que existem , e tais que:

Agora, queremos calcular o volume do tetraedro . Para isto, vamos precisar fazer o produto misto entre os vetores , e . Então, vamos calcula-los primeiramente. Logo,

E assim, o volume do tetraedro será:

Poxa, mas o determinante acima está em função de 3 variáveis diferentes? E agora? O que fazemos?

Passo 4

E aí? O que fazer? Precisamos descobrir alguma relação entre os parâmetros , e .

Esta relação irá sair do fato que o plano é paralelo ao plano . Então, existe algum valor de tal que o plano será dado por .

E os pontos , e não pertencem a este plano que escrevemos? É daqui que sairá as relações que precisamos! Vamos substituir as coordenadas dos pontos, as quais escrevemos no Passo 3, e isolar o valor de em cada uma das equações.

Portanto, começando por , temos:

Para , temos:

Então, temos as seguintes relações:

Ou,

Com isto, conseguimos relacionar tanto quanto com uma única variável . Poderemos então reescrever o determinante em função de uma única variável.

Passo 5

Iremos reescrever o determinante do final do Passo 3 em função apenas de , e assim calculá-lo e descobrir qual o valor de que satisfaz a relação. Portanto,