Sejam e . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a com uma extremidade em e outra em . Descreva o lugar geométrico.

(c) e

Nosso objetivo é encontrar as retas ligando e que sejam paralelas ao segmento :

A única forma de uma reta que liga e ser paralela ao segmento é:

E dá pra transformar isso em um sistema de três equações:

A primeira equação já dá um resultado direto:

Vamos substituir isso nas outras duas:

Reorganizando um pouco as duas equações:

As duas são iguais! Vamos resolver uma vez só:

Ou seja, a solução é:

Temos um grau de liberdade na solução!

Então tá, mas o que a gente quer fazer é encontrar os pontos médios dos segmentos que atendem a essa condição.

O nosso segmento é:

Vamos escrever isso em função de :

Vamos tirar as constantes de dentro daquele ultimo vetor:

E agora somando os dois pontos:

Beleza, essa é a forma geral do nosso segmento que passa por e , e é paralelo a .

Mas ainda não acabou! Esse é um segmento que parte de um ponto na reta , então pra achar as coordenadas do ponto:

E pra encontrar as coordenadas do ponto médio (como o enunciado pediu):

Então:

Mas , então:

Agora é só separar as constantes e os termos que dependem de :

E então somar tudo:

Colocando em evidência:

Como é uma constante arbitrária, a gente pode colocar um em evidência:

E simplesmente “juntar” o no :

Então esse conjunto de pontos médios forma uma reta! Que tem essa equação vetorial aí de cima.