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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 16

Mostre que os planos 3 x   -   y   +   6 z   =   7 e - 6 x   +   2 y   -   12 z   =   1 , são paralelos e encontre a distância entre eles.

Passo 1

Vamos lá, primeiro temos que saber que para dois planos serem paralelos os vetores normais a eles têm de ser paralelos, ou seja n 1 =   ∝   ⋅ n 2 .

n 1 = ( 3 ,   - 1 ,   6 )

n 2 = ( - 6 ,   2 ,   - 12 )

Se olharmos com calma dá pra ver que o valor de ∝   =   - 2 , logo os planos são paralelos.

Passo 2

Agora escolher um ponto qualquer no plano 3 x   -   y   +   6 z   =   7 . Pra facilitar nossas contas vamos fazer x = z = 0 .

y = - 7

Assim temos o ponto ( 0 ,   - 7 ,   0 ) , assim só substituir na formula da distância entre planos dada por:

Sendo um Ponto P ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e a equação do plano a x + b y + c z + d = 0 :

D = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a + b + c

Passo 3

Agora só substituir tudo:

D = - 6 * 0 + 2 * - 7 - 12 * 0 + 1 ( - 6 ) 2 + 2 2 + ( - 12 ) 2  

D =   1 5 184 ⋅ 184 184 = 30 46 184 = 15 46 92

Resposta

D =   15 46 92

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