Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.7.2 - Ex. 4

Mostre que qualquer que seja o ponto sobre a elipse dada no exercício , a soma das distancias deste ponto aos dois focos é igual a .

Passo 1

A equação da elipse do exercício é a seguinte:

Vamos colocar em um gráfico a situação que temos:

Antes de tudo, repare que , e isso não é coincidência hehe. Vamos aos poucos; vamos definir a distância como a distância entre o foco e o ponto . Analogamente, será a distância entre o foco e o ponto . Vamos começar definindo essas distâncias e seguir desenvolvendo a expressão que tivermos.

Passo 2

Da fórmula de distância entre pontos, temos:

A questão diz no enunciado que:

Substituindo as expressões para e :

Passo 3

Vamos fazer algumas manipulações algébricas :). Passando uma das raízes para o outro lado e elevando tudo ao quadrado, ficamos com:

Desenvolvendo os quadrados:

Agora separando a raiz de um lado da equação e jogando os outros termos pro lado direito:

Passo 4

Elevando os dois lados ao quadrado:

Expandindo o lado esquerdo:

Eliminando o termo linear de e isolando as variáveis do lado esquerdo:

Agora vamos dividir os dois lados por e deixar a matemática dar seu show.

Chegamos exatamente na equação da elipse que iniciamos! Isso nos mostra que de fato a soma das distancias e é constante igual a . Na seção seguinte do livro, será mostrado que isso sempre acontece em uma elipse e essa soma é sempre igual a .