Sejam A = 1 ,   1 ,   1 ,   B = ( 0 ,   0 ,   1 ) e r : X = 1 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   1 ,   1 ) . Determine os pontos de r equidistantes de A e B .

Passo 1

Primeiro vamos escrever um ponto genérico P de r a partir da sua equação:

P = 1 + λ ,   λ ,   λ

Para que o ponto P de r tenha a mesma distância até A e até B , vamos usar a fórmula de distância entre pontos:

d A ,   P = 1 + λ - 1 2 + λ - 1 2 + λ - 1 2 = λ 2 + 2 λ - 1 2

d B ,   P = 1 + λ 2 + λ 2 + λ - 1 2

Como queremos que essas distâncias sejam iguais, vamos igualar as duas belezinha?

Passo 2

Igualando:

λ 2 + 2 λ - 1 2 = 1 + λ 2 + λ 2 + λ - 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado pra tirarmos a raíz:

λ 2 + 2 λ - 1 2 = 1 + λ 2 + λ 2 + λ - 1 2

Temos λ ² dos dois lados, podemos cortar:

2 λ - 1 2 = 1 + λ 2 + λ - 1 2

Agora é só abrirmos esses quadrados:

2 λ 2 - 4 λ + 2 = λ 2 + 2 λ + 1 + λ 2 - 2 λ + 1

2 λ 2 - 4 λ + 2 = 2 λ 2 + 2

- 4 λ + 2 = 2

4 λ = 0

λ = 0

Substituindo λ no ponto genérico P :

P = 1 ,   0 ,   0

Ah, a reta preta na imagem é a reta r :)

Resposta

P = 1 ,   0 ,   0

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