Enunciado

Sejam A = 1 ,   1 ,   1 e r : X = 1 ,   1 ,   4 + λ ( 1 ,   - 1 ,   0 ) . Obtenha os pontos de r que distam 11 de A . Em seguida verifique se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a 11 e justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro vamos escrever um ponto genérico P de r a partir da sua equação:

P = 1 + λ ,   1 - λ ,   4

Para que o ponto P de r diste 11 de A , vamos usar a fórmula da distância entre pontos e igualar a 11 , ó:

d A ,   P = 1 + λ - 1 2 + 1 - λ - 1 2 + 4 - 1 2 = 11

λ 2 + λ 2 + 9 = 11

2 λ ² + 9 = 11

Elevando os dois lados ao quadrado:

2 λ 2 + 9 = 11

2 λ 2 - 2 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos λ ' = 1 e λ ' ' = - 1 . Isso quer dizer que existem dois P ' s que tem a distância 11 até A sacou?

P = 1 + λ ,   1 - λ ,   4

P ' = 2 ,   0 ,   4

P = 0 ,   2 ,   4

Passo 2

Cara, a distância entre o ponto A e a reta r é menor que 11 e pra vermos isso não precisamos nem fazer conta porque olha só: encontramos dois pontos P de r cuja distância dele até A é 11 . Isso quer dizer, geometricamente, que cada ponto está para um lado de A , formando um triângulo A P ' P ' ' .

A distância entre A e r é medida perpendicularmente, nesse caso, se ela fosse 11 , encontraríamos apenas um ponto que seria um segmento A P perpendicular entendeu?

Olha uma imagem pra entender melhor:

A distância de A até r é medida pelo segmento A B , que é claramente menor do que A P ' = A P ' = 11 .

Resposta

P ' = 2 ,   0 ,   4

P = 0 ,   2 ,   4

Menor do que 11

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Determine a distância ∆ do ponto P = 3,1 à reta x + 2 y = 3 . Ache o ponto Q = x , y sobre esta reta, tal que d P , Q = ∆ .
Escreva a equação da circunferência que tem centro no ponto P = (2, 5) e é tangente à reta y = 3x + 1.
Sabendo que x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π], são equações paramétricas da circunferência x²+y²=1, obter equações paramétricas para a circunferência de centro P = (a, b) e raio r.
Mostre que a reta y = ax + b é tangente à circunferência x² + y² = r² se, e somente se, b² = (1 + a²)r².
Esboce o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equaçãox³ + xy² − x – x²y – y³ + y = 0.