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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 14

Sejam A = ( 1 ,   2 ,   5 ) e B = ( 0 ,   1 ,   0 ) . Determine o ponto P da reta A B tal que P B → = 3 P A → . Este exercício é uma homenagem a Santos Dumont.

Passo 1

A reta A B vai passar pelo ponto A , pelo ponto B e vai ter vetor diretor A B → certo?:

A B → = B - A

A B → = ( - 1 ,   - 1 ,   - 5 )

Então sua equação vetorial vai ser:

A B : X = 1 ,   2 ,   5 + λ ( - 1 ,   - 1 ,   - 5 )

Como o ponto P pertence à reta A B , ele pode ser escrito em sua forma genérica:

P = 1 - λ ,   2 - λ ,   5 - 5 λ

Agora vamos ver como podemos satisfazer as condições do enunciado ta bom? :D

Passo 2

O enunciado quer que P B → = 3 P A → .

Temos que:

P B → = B - P = - 1 + λ ,   - 1 + λ ,   - 5 + 5 λ

P B → = - 1 + λ 2 + - 1 + λ 2 + - 5 + 5 λ 2

E:

P A → = A - P = ( λ ,   λ ,   5 λ )

P A → = λ 2 + λ 2 + 25 λ ² = 27 λ ²

Passo 3

Agora vamos seguir as condições do enunciado:

P B → = 3 P A →

- 1 + λ 2 + - 1 + λ 2 + - 5 + 5 λ 2 = 3 27 λ ²

Elevando os dois lados ao quadrado:

- 1 + λ 2 + - 1 + λ 2 + - 5 + 5 λ 2 = 9 × 27 λ ²

2 - 1 + λ 2 + - 5 + 5 λ 2 = 9 × 27 λ ²

Vamos abrir os quadrados ok?

2 λ 2 - 4 λ + 2 + 25 λ 2 - 50 λ + 25 = 243 λ ²

Organizando os termos:

27 λ 2 - 54 λ + 27 = 243 λ ²

- 216 λ 2 - 54 λ + 27 = 0

Simplificando por 27:

- 8 λ 2 - 2 λ + 1 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos:

λ ' = - 1 2

λ ' ' = 1 4

Então temos duas possibilidades para o ponto P :

P ' = 1 + 1 2 ,   2 + 1 2 ,   5 + 5 2 = 3 2 , 5 2 , 15 2

P ' = 1 - 1 4 ,   2 - 1 4 ,   5 - 5 4 = 3 4 , 7 4 , 15 4

Resposta

P ' = 1 + 1 2 ,   2 + 1 2 ,   5 + 5 2 = 3 2 , 5 2 , 15 2

P ' = 1 - 1 4 ,   2 - 1 4 ,   5 - 5 4 = 3 4 , 7 4 , 15 4

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