Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 27
Mostre que:
- retas não são parábolas;
- a amplitude focal de uma parábola de parâmetro é ;
- circunferências não são parábolas.
Passo 1
- Suponha que uma reta seja uma parábola. Assim, a distância de qualquer ponto da reta deve ser tal que
- A reta não poderia ser transversal a , pois nesse caso, iria intercepta-la em algum ponto, digamos . Nesse ponto, a distância da reta até é zero, ao passo que , já que, por definição, .
- A reta não poderia ser paralela a , pois nesse caso, a distância de todos os pontos da reta até seria constante, ao passo que a distância da reta até iria variar, o que contraria .
- Consideremos a parábola , como a esquematizada na Figura 22-8.
- Podemos argumentar que a parábola possui apenas um eixo de simetria, enquanto que a circunferência possui infinitos eixos de simetria passando por seu centro. Dessa maneira, uma circunferência não pode ser uma parábola.
onde é a diretriz e o foco da parábola. Note que:
Dessa maneira, esgota-se as possibilidades, mostrando que uma reta não pode ser uma parábola.
Passo 2
A posição do foco é . Para calcularmos as coordenadas do ponto , substituímos por :
Como (ver a figura), segue que .
Da mesma maneira mostramos que .
Portanto, .
Passo 3
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Vértice ( 0 ,0 ) ; aberta para cima; o comprimento do latus rectum 3 .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco ( 0 ,- 2 ) ; diretriz y - 2 = 0 .
Ache a equação da parábola que tem vértice na origem, eixo no eixo y e passa pelo ponto ( - 2 ,- 4 ) .
Prove que o comprimento do latus rectum de uma parábola é 4 p .
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. y 2 = - 8 x