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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 25e

Determinar, caso exista, o ponto e interseção das retas r 1   e   r 2 :

e)

r 1 : x , y , z = 2,4 , 1 + t 1 , - 2,3

r 2 : x , y , z = - 1,2 , 5 + t ( 4,3 , - 2 )

Passo 1

Inicialmente devemos colocar as equações na forma reduzida. Para isso isolamos vamos reescrever as equação na forma paramétrica.

r 1 : x , y , z = 2,4 , 1 + t 1 , - 2,3

r 1 = x = 2 + t y = 4 - 2 t z = 1 + 3 t

r 2 : x , y , z = - 1,2 , 5 + t 4,3 , - 2

r 2 = x = - 1 + 4 t y = 2 + 3 t z = 5 - 2 t

Passo 2

Para deixa-la na forma reduzida, teremos que colocar o “ t ” em evidencia na primeira equação e substituímos nas demais.

r 1 = x = 2 + t y = 4 - 2 t z = 1 + 3 t

t = 2 - x  

Substituindo na equação de y e z, temos:

y = 4 - 2 2 - x       →           y = - 2 x + 8                         ( e q u a ç ã o   I )

z = 1 + 3 2 - x           ⟶           z = 3 x - 5                       ( e q u a ç ã o   I I )

Aplicamos o mesmo precedimento para a reta r 2 .

r 2 = x = - 1 + 4 t y = 2 + 3 t z = 5 - 2 t

t = x + 1 4

Substituindo na equação de y e z, temos:

y = 2 + 3 x + 1 4     →           y = 3 4 x + 11 4                         ( e q u a ç ã o   I I I )

z = 5 - 2 x + 1 4           ⟶           z = - 1 2 x + 9 2                       ( e q u a ç ã o   I V )

Passo 3

Para sabermos se há algum ponto de interseção entre as retas (ponto comum) igualamos as equações ( I   e   I I I ) e ( I I   e   I V ) .

I =   I I I

- 2 x + 8 = 3 4 x + 11 4

- 2 x - 3 4 x = 11 4 - 8

- 2 - 3 4 x = 11 4 - 8

- 8 4 - 3 4 x = 11 4 - 32 4

- 11 x = - 21

x = 21 11

I I = I V

3 x - 5 = - 1 2 x + 9 2

3 x + 1 2 x = 5 + 9 2

3 + 1 2 x = 5 + 9 2

6 2 + 1 2 x = 10 2 + 9 2

7 2 x = 19 2

7 x = 19

x = 19 7

Passo 4

Sabendo que o valor de x foi diferente nas igualdades apresentadas acima, conclui-se que o sistema não tem solução. Ou seja, as retas não possuem pontos em comum.

Resposta

Não há interseção entre as retas r 1   e   r 2

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Determine a equação na forma paramétricas da reta obtida pela interseção dos planos 2 x + 5 z - 3 = 0 , x - 3 y + z + 2 = 0
Determine a equação na forma simétrica da reta de interseção dos planos e (b) determine o ângulo entre os planos. x - 2 y + z = 1 , 2 x + y + z = 1
Escreva equações nas formas paramétricas e simétrica da reta que contém o ponto A = ( 2 ,0 ,- 3 ) e é paralela à reta descrita pelas equações 1 - x 5 = 3 y 4 = z + 3 6 .
Usando somente números inteiros, escreva uma equação vetorial da reta que contém o ponto médio do segmento de extremidades ( 1 ,1 ,3 ) e ( 3 ,1 ,- 1 ) e tem vetor diretor 3 49 , 3 3 98 ,- 3 7 .