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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 15

Mostre que A = 3,0 , 2 , B = ( 4,3 , 0 ) e C = ( 8,1 , - 1 ) são vértices de um triângulo retângulo. Em qual dos vértices está o ângulo reto?

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bem? 😊

Os pontos A , B   e   C são vértices de um triângulo retângulo se um dos pares de vetores são perpendiculares entre si. Ou seja:

A B → . A C → = 0

B A → . B C → = 0

C A → . C B → = 0

Passo 2

Vamos definir esses vetores:

A B → = B - A = 1,3 , - 2

A C → = C - A = 5,1 , - 3

B A → = A - B = ( - 1 , - 3 , 2 )

B C → = C - B = ( 4 , - 2 , - 1 )

C A → = A - C = - 5 , - 1,3

C B → = B - C = ( - 4,2 , 1 )

Passo 3

Resolvendo as equações dos produtos internos:

A B → . A C → = 1,3 , - 2 . 5,1 , - 3 = 5 + 3 + 6 = 14

B A → . B C → = ( - 1 , - 3,2 ) . 4 , - 2 , - 1 = - 4 + 6 - 2 = 0

C A → . C B → = - 5 , - 1,3 .   - 4,2 , 1 = 20 - 2 + 3 = 21

Portanto, A , B e C formam um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice B .

Resposta

T r i â n g u l o   r e t â n g u l o   c o m   â n g u l o   r e t o   n o   v é r t i c e   B .

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Se os segmentos orientados AA′ e BB′ são equipolentes, prove que também são equipolentes os segmentos orientados AB e A ′B ′
Se os pontos A e B são equidistantes da origem e os segmentos orientados OA e BC são equipolentes, prove que OC e AB são perpendiculares.
Seja AA′ uma diagonal de um cubo e sejam B, C e D os vértices desse cubo que estão mais próximos de A. Mostre que AA′ é perpendicular a BC e BD e conclua que AA′ é perpendicular ao plano BCD. Mostre a
Ache quatro pontos A, B, C e D no espaço, cujas coordenadas sejam 1 ou 0, de modo que ABCD seja um tetraedro regular. Verifique que duas arestas opostas desse tetraedro são ortogonais.
Dados os pontos distintos A = (a, b, c), A ′ = (a ′, b′, c′) e o número d0, mostre que existem, na reta AA′, 0, 1 ou 2 pontos P tais que d (O, P) = d. Se existir exatamente um ponto P com d (O, P) = d