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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 05

  1. Mostre que, conforme sugere a Figura 23-5 os eixos O x e O y são tangentes à parábola.
  2. Utilize o resultado da parte (a) e o Exercício 22-144 para concluir que O pertence à diretriz.

Passo 1

  1. A equação da parábola é

    x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0

    O eixo x possui equação y = 0 . Assim,

    x 2 - 2 x ⋅ 0 + 0 2 - 2 x - 2 ⋅ 0 + 1 = 0 ⟺

    x 2 - 2 x + 1 = 0 ⟺

    x - 1 2 = 0

    o que mostra que há apenas um ponto de intersecção entre a parábola e o eixo x .

    O eixo y possui equação x = 0 . Assim,

    0 2 - 2 ⋅ 0 ⋅ y + y 2 - 2 ⋅ 0 - 2 y + 1 = 0 ⟺

    y 2 - 2 y + 1 = 0 ⟺

    y - 1 2 = 0

    o que mostra que há apenas um ponto de intersecção entre a parábola e o eixo y .

    Passo 2

O exercício 22-144 nos diz que o lugar geométrico dos pontos X para os quais existem duas retas tangentes a uma parábola P que contém X e são perpendiculares é a reta diretriz da parábola.

Como vimos na parte (a), os eixos x e y são tangentes à parábola. Os eixos x e y são perpendiculares e contém O . Sendo assim, O pertence à diretriz da parábola.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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