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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 10

Dada a função polinomial de segundo grau g x , y = a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f , prove que, se [23-5] tem infinitas soluções, o valor de g h , k não depende da escolha da solução h , k .

Passo 1

Vamos reescrever o sistema [23-5]:

a h + b 2 k + d 2 = 0 b 2 h + c k + e 2 = 0

Se o sistema possui infinitas soluções,

a b / 2 = b / 2 c = d / 2 e / 2 ⟹ 2 a b = b 2 c = d e

Assim,

2 a b = d e ⟹ b d = 2 a e ∴ b d 2 a = e ⟹ e - b d 2 a = 0

Passo 2

Assim, temos que

h = - b k + d 2 a

Passo 3

Agora, vamos usar a equação [23-4]:

g h , k = d 2 h + e 2 k + f = d 2 - b k + d 2 a + e 2 k + f

g h , k = - b d 4 a k - d 2 4 a + e 2 k + f = k 2 e - b d 2 a + f - d 2 4 a

Porém, já vimos que e - b d 2 a = 0 , portanto,

g h , k = f - d 2 4 a

que não depende de h e k !!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo x .
Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo y .
Em cada caso, descreva em palavras o efeito geométrico de multiplicar um vetor x → pela matriz A . A =2 0 0 3 A =3 2 - 1 2 1 2 3 2
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