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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 15

Verdadeiro ou falso?

  1. Se det ⁡ A = 1 , então A - 1 = A .
  2. Se A é uma matriz triangular superior e A - 1 existe, então também A - 1 será uma matriz triangular superior.
  3. Se A é uma matriz escalar n × n na forma k I n , então det ⁡ A = k n .
  4. Se A é uma matriz triangular, então det ⁡ A = a 11 + … + a n n .

Passo 1

  1. Falsa. Basta observar o seguinte contra-exemplo:

    2. A = 1 1 0 1

    Cujo determinante é unitário.

    Com um breve cálculo, temos que:

    A - 1 = 1 - 1 0 1

    Logo temos que det ⁡ A = 1 e A ≠ A - 1 .

    Passo 2

  2. Vamos provar por contradição. Seja A = [ a i j ] uma matriz triangular superior de ordem n . Vamos assumi que B = A - 1 = [ b i j ] não é uma matriz triangular superior.

    3. Se isso é verdade, então existe um elemento b i j ≠ 0 para i > j . Seja b i k um elemento com o menor k na linha i tal que b i k ≠ 0 e i > k . Considere o produto C = B A . O elemento c i k da matriz C não está na diagonal principal pois ( i > k ) e é calculado como:

    c i k = b i 1 a 1 k + b i 2 a 2 k + … + b i k a k k + … + b i n a n k

    Desde que b i k é o primeiro elemento não nulo na sua linha, a gente tem que todos os termos à esquerda dele são zero. Além disso, como A é triangular superior, todos os elementos à direita de b i k a k k desaparecem!

    Então a gente fica apenas com b i k a k k = 0 , pois i ≠ k implica que c i k é nulo, dado que C é a identidade.

    Mas sendo A inversível, a k k tem que ser não nulo, caso contrário seu determinante se anularia! Logo, só nos resta b i k = 0 , que é absurdo, pois contraria nossa hipótese inicial.

    Passo 3

  3. Queremos:

    4. det ⁡ ( k I n ) = k n det ⁡ I n = k n

    Passo 4

  4. Falso, pois no exemplo do item a):

det ⁡ A = 1

a 11 + a 22 = 1 + 1 = 2

Do que temos que:

det ⁡ A ≠ a 11 + a 22

Resposta

  1. Falso;
  2. Verdadeiro;
  3. Verdadeiro;
  4. Falso.
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Seja A = A 1 , A 2 , A 3 uma matriz de ordem 3 . Seja B = A 1 - A 2 - A 3 ,A 2 - A 1 - A 3 , A 3 - A 1 - A 2 . Provar que det ⁡ B = - 4 det ⁡ A .
Sem cálculo, provar que a matriz 3 - 6 x 1 - 2 y 2 - 4 z tem determinante igual a zero quaisquer que sejam x ,y ,z ∈ R .
Provar que se A = A 1 ,. . .,A n e λ 1 , . . . , λ n ∈ R , então d e t λ 1 A 1 ,. . .,λ n A n =λ 1 , . . . , λ n ∙ d e t A .
Seja A uma matriz de ordem 3. Provar diretamente que det ⁡ A = det ⁡ A t .
Compare det ⁡ A 1 , … , A n e det ⁡ A 1 , A 1 + A 2 , A 1 + A 3 , … , A 1 + A n .