Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 5

Seja uma transformação linear.

(a) Se é sobrejetiva e , qual a dimensão de ?

(b) Se é sobrejetiva e injetiva, qual a dimensão de V?

Passo 1

Fala, pessoal!

Bom, para começar, vamos lembrar que uma transformação é sobrejetiva quando a imagem da transformação é igual ao conjunto sobre o qual a transformação é levada. Como assim? Vamos pegar o exemplo dessa questão: . Se a transformação é sobrejetiva, quer dizer que todo vetor em pode ser obtido a partir da transformação para algum vetor em .

(a)Com essa informação em mente, podemos concluir que a dimensão da imagem de é igual a dimensão de , ou seja, . Usando o Teorema 3.8 do livro, temos

Já descobrimos que e o enunciado deu . Então,

Passo 2

Agora, precisamos que uma função é injetiva quando implica que , ou seja, cada elemento da imagem só pode ser obtido de um único vetor através de : . Nesse caso, o Teorema 3.7 diz que , então . Ainda temos porque a transformação é sobrejetiva. Assim,

Resposta

(a)

(b)

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