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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 12

Dada a matriz A = [[[2,1,-,3],[0,2,1],[5,1,3]]] calcule

  1. a d j A ;
  2. det A ;
  3. A^(- 1) .

Passo 1

  1. Primeiramente a gente deve lembrar que a adjunta de uma matriz é a transposta da matriz dos cofatores. Logo, o próximo passo lógico é calcular os cofatores:

    2. Delta_11 = (- 1)^(1 + 1) |[[2,1],[1,3]]| = 5

    Delta_12 = (- 1)^(1 + 2) |[[0,1],[5,3]]| = (- 1) * (- 5) = 5

    Delta_13 = (- 1)^(1 + 3) |[[0,2],[5,1]]| = - 10

    Delta_21 = (- 1)^(2 + 1) |[[1,-,3],[1,3]]| = (- 1) * 6 = - 6

    Delta_22 = (- 1)^(2 + 2) |[[2,-,3],[5,3]]| = 21

    Delta_23 = (- 1)^(2 + 3) |[[2,1],[5,1]]| = (- 1) * (- 3) = 3

    Delta_31 = (- 1)^(3 + 1) |[[1,-,3],[2,1]]| = 7

    Delta_32 = (- 1)^(3 + 2) |[[2,-,3],[0,1]]| = (- 1) * 2 = - 2

    Delta_33 = (- 1)^(3 + 3) |[[2,1],[0,2]]| = 4

    Logo, a matriz dos cofatores é:

    [[[5,5,-,10],[-,6,21,3],[7,-,2,4]]]

    E a adjunta:

    [[[5,-,6,7],[5,21,-,2],[-,10,3,4]]]

    Passo 2

  2. |[[2,1,-,3],[0,2,1],[5,1,3]]| = 2 * 2 * 3 + 5 * 1 * 1 + 0 * 1 * (- 3) - [0 * 1 * 3 + 5 * 2 * (- 3) + 2 * 1 * 1] = 45 .

    3. Passo 3

  3. Do nosso estudo sabemos que a inversa pode ser calculada como:

A^(- 1) = (1)/(det A) a d j A

Já temos tudo que precisa para calcular a inversa, dos itens anteriores, então:

A^(- 1) = (1)/(45) [[[5,-,6,7],[5,21,-,2],[-,10,3,4]]]

Resposta

  1. [[[5,-,6,7],[5,21,-,2],[-,10,3,4]]] ;
  2. 45;
  3. (1)/(45) [[[5,-,6,7],[5,21,-,2],[-,10,3,4]]] .
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