Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 e cujas geratrizes são paralelas à reta r . Ω 1 : x 2 + y 2 = z Ω 2 : x - y + z = 0 r : X = 1,2 , 3 + λ 1,1 , 1 Ω 1 : x 2 - x y + 1 = 0 Ω 2 : z = 0 r : x - 2 z + 3 = y - z = 3 Ω 1 : x y = z Ω 2 : x + y - z = 0 r : x = y = z Ω 1 : x + y + x y = 0 Ω 2 : z = 0 r : x = y = z Ω 1 : f x , y = 0 Ω 2 : z = 0 r : X = 0,0 , 0 + λ m , n , 1

Ω : x - 2 z 2 - x - 2 z y - z + 1 = 0

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 1b

Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies e e cujas geratrizes são paralelas à reta .

Passo 1

Precisamos obter uma superfície cilíndrica com geratrizes paralelas a reta e pela curva diretriz dada por:

Antes de podermos montar o sistema de equação que caracteriza a superfície , vamos obter o vetor diretor da reta , a qual é dada por:

Isolando e nas duas equações, temos:

Portanto, a reta possui a seguinte equação vetorial:

Por fim, o vetor diretor da reta é .

Passo 2

Agora vamos montar o nosso sistema. Seja um ponto de coordenadas . Ele pertence a se, e somente se, existe um ponto que pertence a e .

Portanto, se pertence a , temos:

E, se , também temos:

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

Passo 3

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

Isolando o parâmetro na segunda equação, temos:

Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

Resposta

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Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).(e) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : ( x - 2 ) 2 + z - 1 2 = 1

Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação de Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O z .(a) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : x 2 + z 2 = 1

Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).(f) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : x = 2

Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).(a) Γ : x = λ ,y = λ 2 ,z = λ 2 λ ∈ R

Se r é uma reta qualquer, contida no plano da circunferência Γ , escolha um sistema de coordenadas tal que r = O z e a circunferência tenha equações y - a 2 + z 2 = σ 2 ,x = 0( a0 ,σ0 ) , e obtenha, e