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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 110

Supondo que a reta t : x - y + 2 = 0 tangencia uma única curva C (elipse ou hipérbole) de focos F 1 e F 2 ,verifique em cada caso se C é elipse ou hipérbole e utilize a propriedade de reflexão para determine o ponto de tangência e os parâmetros geométricos de C .

  1. F 1 = 1 ,   1 e F 2 = 0,3 .
  2. F 1 = 2,3 e F 2 = 3,1 .

Passo 1

Nesse exercício, vamos usar os resultados dos exercícios 22-70 e 22-87 que dizem:

  • Uma reta tangente a uma elipse nunca separa os focos em semiplanos opostos;
  • Uma reta tangente a uma hipérbole sempre separa os focos em semiplanos opostos.

Assim, podemos rapidamente determinar se C é elipse ou hipérbole. Lembre-se que se temos uma função do tipo

f x , y = a x + b y + c

então se:

  1. f x 0 ,   y 0 = 0 ⟹ o ponto x 0 ,   y 0 pertence à reta a x + b y + c = 0 ;
  2. f x 0 ,   y 0 < 0 ⟹ o ponto x 0 ,   y 0 está “abaih-1xo” da reta a x + b y + c = 0 ;
  3. f x 0 ,   y 0 > 0 ⟹ o ponto x 0 ,   y 0 está “acima” da reta a x + b y + c = 0 .

Vamos aplicar as propriedades vistas acima para os itens a) e b):

  1. f x , y = x - y + 2 ⟹ f 1 ,   1 = 1 - 1 + 2 = 2 > 0 f 0 ,   3 = 0 - 3 + 2 = - 1 < 0 . Assim, 1 ,   1 está “acima” da reta t e 0 ,   3 está “abaixo” da reta t . Logo, os focos estão em semiplanos diferentes, o que mostra que C é uma hipérbole!
  2. f x , y = x - y + 2 ⟹ f 2 ,   3 = 2 - 3 + 2 = 1 > 0 f 3 ,   1 = 3 - 1 + 2 = 4 > 0 . Assim, tanto 2 ,   3 quanto 3,1 estão “acima” da reta t . Como os focos estão no mesmo semiplano, segue que C é uma elipse!

O mais complicado é determinar o ponto de tangência, T . Podemos fazer lembrando da seguinte propriedade:

O ângulo entre as retas y = m 1 x + n 1 e y = m 2 x + n 2 é dado por

tan ⁡ θ = m 1 - m 2 1 + m 1 m 2

Passo 2

  1. Pela propriedade da reflexão, o ângulo entre as retas F 2 T e F 1 T são iguais. Assim, sendo P = h ,   h + 2 o ponto de tangência, devemos ter
  • Coeficiente angular da reta que passa por F 2 e T :

    • m 1 = y T - y F 2 x T - x F 2 = h + 2 - 3 h - 0 = h - 1 h

  • Coeficiente angular da reta que passa por F 1 e T :

    • m 3 = y T - y F 1 x T - x F 1 = h + 2 - 1 h - 1 = h + 1 h - 1

  • Coeficiente angular da reta t :

x - y + 2 = 0 ∴ y = x + 2 ⟹ m 2 = 1

Logo, usando a propriedade acima:

tan ⁡ θ 1 = tan ⁡ θ 2 ⟹ h - 1 h - 1 1 + h - 1 h = h + 1 h - 1 - 1 1 + h + 1 h - 1 ⟹ - h 2 h - 1 = 1 h

Logo,

h 2 h - 1 = 1 h ∴ h 2 = 2 h - 1 ∴ h 2 - 2 h + 1 = 0 ∴ h - 1 2 = 0 ⟹ h = 1

O ponto de tangência será 1 ,   3 .

Passo 3

  • Procedemos da mesma forma,

    • m 1 = h + 2 - 1 h - 3 = h + 1 h - 3

    m 3 = h + 2 - 3 h - 2 = h - 1 h - 2

    Portanto,

    tan ⁡ θ 1 = tan ⁡ θ 2 ⟹ h + 1 h - 3 - 1 1 + h + 1 h - 3 = h - 1 h - 2 - 1 1 + h - 1 h - 2 ⟹ 4 2 h - 2 = 1 2 h - 3

    Logo, teremos

    4 2 h - 3 = 2 h - 2 ∴ 2 2 h - 3 = h - 1 ⟹ h = 5 3

    ou

    4 2 h - 3 = - 2 h + 2 ∴ 2 2 h - 3 = - 2 h + 2 ⟹ h = 7 5

    Note que chegamos em dois valores de h . Como o enunciado deixa claro que C é única, devemos descartar um dos casos. Para h = 5 3 , vemos que F 1 ,   F 2 e T = 5 3 , 11 3 são colineares, pois

    2 3 1 3 1 1 5 3 11 3 1 = 0

    Logo, T seria um vértice e a reta tangente deveria ser perpendicular à reta focal. Esse último fato não ocorre, pois para m t = 1 e m F 1 F 2 = 3 - 1 3 - 2 = 2 , de modo que m t m F 1 F 2 = 2 ≠ - 1 . Então, devemos descartar h = 5 3 !! A única solução é T = 7 5 , 17 5 .

    Passo 4

    Agora, só nos falta determinar as propriedades geométricas das figuras.

    1. O parâmetro c é simples de se calcular, afinal, 2 c é a distância entre os focos:

      2. 2 c = x F 1 - x F 2 2 + y F 1 - y F 2 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ⟹ c = 5 2

      Pela propriedade fundamental da hipérbole, temos

      T F 1 - T F 2 = 2 a ∴ x T - x F 1 2 + y T - y F 1 2 - x T - x F 2 2 + y T - y F 2 2 = 2 a

      1 - 1 2 + 3 - 1 2 - 1 - 0 2 + 3 - 3 2 = 2 a ∴ a = 1 2

      e, por fim,

      c 2 = a 2 + b 2 ∴ b 2 = c 2 - a 2 ⟹ b = 1

      Passo 5

    2. Novamente, o parâmetro c é simples de se calcular:

    2 c = x F 1 - x F 2 2 + y F 1 - y F 2 2 = 1 2 + 2 2 = 5 ∴ c = 5 2

    Pela propriedade fundamental da elipse, temos

    T F 1 + T F 2 = 2 a ∴ x T - x F 1 2 + y T - y F 1 2 + x T - x F 2 2 + y T - y F 2 2 = 2 a

    7 5 - 2 2 + 17 5 - 3 2 + 7 5 - 3 2 + 17 5 - 1 2 = 2 a ∴ a = 13 2

    e, por fim,

    b 2 = a 2 - c 2 ⟹ b = 2

    Resposta

    1. É uma hipérbole, com ponto de tangência 1 ,   3 ; a = 1 / 2 , b = 1 , c = 5 / 2 .
    2. É uma elipse, com ponto de tangência 7 5 , 17 5 ; a = 13 / 2 , b = 2 , c = 5 / 2 .
    Ver Outros Exercícios desse livro

    Exercícios de Livros Relacionados

    Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C ( 5,1 ) , um foco em ( 9,1 ) , eixo imaginário mede 4 2 .
    Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Focos em ( 3,4 ) e F ( 3 , - 2 ) , excentricidade e = 2 .
    Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C ( 0,0 ) , eixo real sobre O y , b = 8 e excentricidade e = 5 3 .
    Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Vértices A 1 ( - 3 , - 4 ) e A 2 ( - 3,4 ) , hipérbole equilátera.
    Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Vértices A ( ± 4,0 ) , passando por P ( 8,2 ) .