Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 30
Prove que o paraboloide hiperbólico é uma superfície regrada, exibindo um conjunto de retas cuja reunião seja . No caso particular em que , obtenha vetores diretores dessas retas e os pontos em que elas interceptam o plano (isso pode ser útil no projeto da escultura de linha).
Passo 1
Vamos provar que o paraboloide hiperbólico é uma superfície regrada.
O procedimento aqui empregado será bem semelhante ao feito no Exercício Resolvido 25-6.
Bom, primeiro vamos separar o segundo membro em um produto. Com isto, temos:
Se assumirmos que , podemos reescrever a seguinte relação:
Reescrevendo a relação acima em forma de um sistema e incluindo a solução , temos:
Passo 2
Agora, vamos confirmar que o sistema acima satisfaz a equação de uma reta.
Para isto, basta analisar as equações como dois planos com vetores normais e . Portanto, não existe nenhum valor de tal que .
Desta forma, os dois vetores não são paralelos e os dois planos são ortogonais! E se temos dois planos ortogonais, a interseção deles é uma reta!
E para finalizarmos, para verificar que todo ponto da reta pertence a superfície , basta fazer o caminho inverso que fizemos. Se multiplicarmos as duas linhas, vamos obter a equação de .
Assim, provamos que o paraboloide hiperbólico é uma superfície regrada!
Passo 3
Para obtermos os vetores diretores do caso , basta substituir na relação que desenvolvemos no início do passo 1. Ela foi:
Então, temos o conjunto
Como a questão nos disse que , o que simplifica nossas relações, temos:
Cada uma das relações nos dá um plano. Se interceptarmos cada um dos planos e com o plano , vamos obter nosso par de reta.
Começando pela interseção de com , temos:
Portanto, se o ponto pertence a reta, temos:
Cujo vetor diretor é . Já para o caso da interseção com , temos:
Portanto, se o ponto pertence a reta, temos:
Cujo vetor diretor é .
Resposta
Os vetores diretores das retas são e .