Prove que o paraboloide hiperbólico é uma superfície regrada, exibindo um conjunto de retas cuja reunião seja . No caso particular em que , obtenha vetores diretores dessas retas e os pontos em que elas interceptam o plano (isso pode ser útil no projeto da escultura de linha).

Agora, vamos confirmar que o sistema acima satisfaz a equação de uma reta.

Para isto, basta analisar as equações como dois planos com vetores normais e . Portanto, não existe nenhum valor de tal que .

Desta forma, os dois vetores não são paralelos e os dois planos são ortogonais! E se temos dois planos ortogonais, a interseção deles é uma reta!

E para finalizarmos, para verificar que todo ponto da reta pertence a superfície , basta fazer o caminho inverso que fizemos. Se multiplicarmos as duas linhas, vamos obter a equação de .

Assim, provamos que o paraboloide hiperbólico é uma superfície regrada!

Para obtermos os vetores diretores do caso , basta substituir na relação que desenvolvemos no início do passo 1. Ela foi:

Então, temos o conjunto

Como a questão nos disse que , o que simplifica nossas relações, temos:

Cada uma das relações nos dá um plano. Se interceptarmos cada um dos planos e com o plano , vamos obter nosso par de reta.

Começando pela interseção de com , temos:

Portanto, se o ponto pertence a reta, temos:

Cujo vetor diretor é . Já para o caso da interseção com , temos:

Portanto, se o ponto pertence a reta, temos:

Cujo vetor diretor é .