Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 20

Obtenha a equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,   1 ,   0 + λ   ( 2 ,   1 ,   2 ) e é paralelo a s :   ( x + 1 ) / 2 = y = z + 3 .

Passo 1

Queremos achar a equação de um plano que contém a reta r e seja paralelo à reta s . O vetor diretor de r é

u → = ( 2 ,   1 ,   2 )

Vamos achar o vetor diretor de s , cuja equação é

x + 1 2 = y = z + 3

Fazendo y = 0 , obtemos z = - 3 e x = - 1 . Já fazendo x = 1 , obtemos y = 1 e z = - 2 . Assim, a reta s passa pelos pontos A = ( - 1 ,   0 ,   - 3 ) e B = ( 1 ,   1 ,   - 2 ) . Portanto, seu vetor diretor é

v → = A B → = B - A = ( 2 ,   1 ,   1 )

Como o plano deve ser paralelo à reta s , seu vetor normal deve ser perpendicular a ela!

Passo 2

Sabemos então que o vetor normal ao plano deve ser perpendicular tanto a u → como a v → , de modo que

n → = u → ∧ v → = i → j → k → 2 1 2 2 1 1 = ( - 1 ,   2 ,   0 )

Por simplicidade, vamos usar

n → = ( 1 ,   - 2 ,   0 )

Passo 3

Desta forma, a equação do plano fica

x - 2 y + 0 ⋅ z + d = 0

Como o plano deve conter a reta r e o ponto P = ( 1 ,   1 ,   0 ) está contido nela, ele também deve estar no plano:

1 - 2 ⋅ 1 + d = 0 ⇒ d = 1

Assim, a equação do plano é

x - 2 y + 1 = 0

Resposta

x - 2 y + 1 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada. 1,2 e 2 x + y = 3
Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada. x + 2 y = 3
Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular ao plano dado. 0,1 , - 1 e x + 2 y - z = 3
Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada. 2 x - 5 y = 4
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto 1,2 , - 1 e que seja perpendicular às direções dos vetores u → = 1,1 , 1 e v → = 1 , - 2,1 .