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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 5.Exercício - Ex. 8

Suponha que, no trapézio da Figura 5-3 (a), as razões em que M divide (D,A) e N divide (C,B) são iguais a r. Mostre que M N → = r 1 + r A B → + 1 1 + r D C → . Deduza que M N   / / A B e que a medida de M N é igual a r A B → + D C → 1 + r .

Passo 1

Bora lá!

Esse é o nosso trapézio ABCD , onde M divide (D,A) e N divide (C,B) na mesma razão r:

Queremos mostrar que M N → = r 1 + r A B → + 1 1 + r D C → . Para isso, vamos considerar que M N   / / A B e que a medida de M N é igual a r A B → + D C → 1 + r .

Beleza? Então, partiu!

Passo 2

Seja A M → = r M D → e B N → = r N C → , temos r > 0 . Ainda, como A B C D é um trapézio com AB//CD, temos M N → = λ A B → para algum λ > 0 . Temos

M N → = r r + 1 A D → + D C → + r r + 1 C B →

M N → = r r + 1 A D → + C B → + D C →

M N → = r r + 1 A B → + B C → + C D → + C B → + D C →

M N → = r r + 1 A B → + C D → + D C →

M N → = r r + 1 A B → - r r + 1 D C → + D C →

M N → = r r + 1 A B → - r D C → - 1 + r D C → r + 1

M N → = r r + 1 A B → + 1 r + 1 D C →  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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