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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 20b

( a ) Seja S : x 2 + y 2 + z 2 + x + 2 y - 2 z - 1 = 0 . Obtenha a equação geral da superfície esférica concêntrica com S que determina sobre r : X = 3 , - 2 , - 3 + λ ( - 1,2 , 2 ) uma corda de comprimento 3 .

( b ) Obtenha uma equação da superfície esférica de centro ( 2,3 , - 1 ) , que determina sobre a reta interseção dos planos π 1 : 5 x - 4 y + 3 z + 20 = 0 e π 2 : 3 x - 4 y + z - 8 = 0 uma corda de comprimento 16 .

Passo 1

Pelos valores dados no enunciado da letra b temos que a equação da esfera vale:

x - 2 2 + y - 3 2 + z + 1 2 = ρ 2

Falta só encontrar ρ .

E os planos nos dão uma equação de:

z = 8 + 4 y - 3 x   ( u s a n d o   π 2 )

Aplicando esse z em π 1 nós teremos:

5 x - 4 y + 3 8 + 4 y - 3 x   + 20 = 0

- 4 x + 8 y + 24 + 20 = 0

8 y = 4 x - 44

y = x 2 - 11 2

Portanto:

z = 8 + 4 x 2 - 11 2 - 3 x

z = - 14 + 2 x - 3 x → z = - x - 14

Passo 2

Aplicando o ponto x , x 2 - 11 2 , - x - 14   na equação da esfera nós teremos:

x - 2 2 + x 2 - 11 2 - 3 2 + - x - 14 + 1 2 = ρ 2

Abrindo essa equação nós iremos ter:

9 4 x 2 + 54 4 x + 981 4 - ρ 2 = 0

Dessa forma os valores de x valerão:

x 1 ; x 2 = - 54 4 ± 54 4 2 - 9 981 4 - ρ 2 9 2

x 1 ; x 2 = - 3 ± 2 9 54 4 2 - 9 981 4 - ρ 2

Dessa forma os pontos de interseção serão (chamando 54 4 2 - 9 981 4 - ρ 2 de a :

P , Q = - 3 ± 2 9 a ; - 3 2 ± 1 9 a - 11 2 ;   + 3 ± 2 9 a - 14

Passo 3

E como a distância entre os pontos P e Q é de 16 logo:

2 a 9 + 2 a 9 2 + a 9 + a 9 2 + 2 a 9 + 2 a 9 2 = 16

16 a 2 81 + 4 a 2 81 + 16 a 2 81 = 16

6 a 9 = 16

a = 24

54 4 2 - 9 981 4 - ρ 2 = 24

- 8829 4 + 9 ρ 2 = 24 2 - 54 4 2

ρ 2 = 289

Portanto a equação da esfera será:

x - 2 2 + y - 3 2 + z + 1 2 = 289

Se vocês conseguirem uma forma mais simples de resolver essas duas questões manda pra nós! :D

Resposta

x - 2 2 + y - 3 2 + z + 1 2 = 289

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Seja S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + y - 10 = 0 . Obtenha a equação geral da superfície esférica S 1 de centro 1,0 , 1 , sabendo que S e S 1 são tangentes interiormente.
As superfícies esféricas S 1 : x - 1 2 + y - 3 2 + z 2 = 1 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 m x + 4 m y + 4 m z = 0 são tangentes. Quanto vale m ?
Sejam S 1 e S 2 superfícies esféricas não-concêntricas, C 1 e C 2 , os respectivos centros, ρ 1 e ρ 2 , os respectivos raios, tais que ρ 2 ≥ ρ 1 . Sejam δ = d C 1 ,C 2 e π o plano radical de S 1 e S 2
Sejam S 1 : x 2 + y 2 + z 2 = 9 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 12 y + 12 z + 72 = 0 . Obtenha a equação reduzida de uma superfície esférica tangente a ambas, sendo colineares os três termos.
Obtenha a equação reduzida da superfície esférica tangente ao plano π : z = 0 no ponto 1 ,- 2 ,0 que tangencia exteriormente à superfície esfera S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 8 y - 2 z + 1 = 0 .