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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 04

  1. Seja ρ um número real não-negativo. Mostre que, para todo ϕ e todo θ reais, o ponto P de coordenadas x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,   z = ρ cos ⁡ ϕ pertence à superfície esférica de centro O = 0,0 , 0 e raio ρ . De uma interpretação geométrica para ρ , ϕ e θ .
  2. Mostre que para todo ponto P x , y , z de E 3 , existem números reais ρ ,   θ e ϕ tais que x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ e z = ρ cos ⁡ ϕ (quando sujeito às condições ρ ≥ 0 , 0 ≤ ϕ ≤ π e 0 ≤ θ < 2 π , esses números são chamados coordenadas esféricas de P ).

Passo 1

  1. Para mostrar que P = x , y , z está numa superfície esférica de raio ρ e centro 0,0 , 0 , basta mostrar que as coordenadas de P satisfazem a equação:

    2. x - 0 2 + y - 0 2 + z - 0 2 = ρ 2 ⟺

    x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

    Agora, note que

    x 2 + y 2 = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 ⟺

    x 2 + y 2 = ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ⟺

    x 2 + y 2 = ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ

    Logo,

    x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ = ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ   + cos 2 ⁡ ϕ ⏟ = 1 ⟺

    x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

    que é o que queríamos demonstrar.

    A interpretação geométrica é a seguinte:

    Um ponto qualquer no espaço pode ser localizando pelos números ρ , θ ,   ϕ , onde ρ é a distância do ponto até a origem, θ é o ângulo que a projeção ortogonal do ponto no plano x y faz com o eixo x e ϕ é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z .

    Passo 2

  2. Vimos no item (a) que:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 ∴ ρ = x 2 + y 2 + z 2

Note que existe ρ , pois x 2 + y 2 + z 2 ≥ 0 . Vamos provar agora a existência de ϕ :

Como x 2 + y 2 ≥ 0 , segue que

ρ ≥ z 2 = z ⟹ ρ ≥ z

Assim, como z = ρ cos ⁡ ϕ , e como ρ ≥ z , segue que (lembre-se que ρ > 0 );

cos ⁡ ϕ = z ρ ∴ cos ⁡ ϕ = z ρ ≤ 1 ⟹ cos ⁡ ϕ ≤ 1

a última desigualdade é condição suficiente para que exista ϕ real. Vamos agora provar a existência de θ :

x 2 + y 2 = ρ 2 sin 2 ⁡ ϕ

Como y 2 ≥ 0 , segue que (vamos considerar 0 ≤ ϕ ≤ π , de modo que sin ⁡ ϕ ≥ 0 )

ρ sin ⁡ ϕ ≥ x

Logo, como x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , segue que

cos ⁡ θ = x ρ sin ⁡ ϕ ∴ cos ⁡ θ = x ρ sin ⁡ ϕ ≤ 1 ⟹ cos ⁡ θ ≤ 1

a última desigualdade é condição suficiente para que exista θ real.

Passo 2

Observação: as coordenadas esféricas são muito importantes para a resolução de integrais triplas. Aprendê-las bem é altamente recomendado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Obtenha uma equação da superfície esférica que contém os pontos 0,0 , 1 , 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) , cujo centro pertence ao plano π : x + y - z = 0
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