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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 30

Sejam π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 planos transversais. Mostre que, se r = π 1 ∩ π 2 , então a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + λ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 + γ = 0 , em que λ e γ percorrem R e γ é não-nulo, é equação de um “feixe incompleto” de planos paralelos a r . Quais planos estão faltando?

Passo 1

Provaremos que as condições do enunciado estão corretas, e encontraremos os planos que estão faltando no feixe de planos enunciado, beleza?

Então, bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos somar as equações planares, após multiplicá-las por fatores, obtendo assim, um outro plano que passa por r .

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0           ( . μ ) a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0           ( . λ ) +

μ a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + λ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

Passo 3

Vamos utilizar agora o nosso “pulo do gato”, adicionando um fator γ ≠ 0 , a fim de podermos representar todos os planos paralelos à reta.

μ a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + λ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 + γ = 0

Passo 4

Contudo, na equação fornecida do enunciado, temos μ = 1 , o que significa que os planos determinados por a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 + γ = 0 , logo, os planos que faltam para completar o feixe são aqueles paralelos à π 2 😉.

Resposta

Faltam todos os planos paralelos à π 2 .

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Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 1 + 2 t , y = 4 t , z = 2 - 3 t ; x + 2 y - z + 1 = 0
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