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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.5 - Ex. 81

Se a , b e c não são todos nulos, mostre que a equação a x + b y + c z + d = 0 representa um plano e a ,   b ,   c é o vetor normal ao plano.

Sugestão: Suponha a ≠ 0 e reescreva a equação na forma

a x + d a + b y - 0 + c z - 0 = 0

Passo 1

Beleza, pessoal? Como sugerido no próprio exercício, podemos mostrar que a equação a x + b y + c z + d = 0 representa um plano reescrevendo assim, supondo a ≠ 0 :

a x + b y + c z + d = 0

a x + a d a + b y - b   .   0 + c z - c   .   0 = 0

a x + d a + b y - 0 + c z - 0 = 0

Olha só, chegamos à equação do plano cujo vetor normal é a ,   b ,   c e que passa pelo ponto - d a ,   0 ,   0 .

Passo 2

Se supusermos b ≠ 0 , poderemos também reescrever a equação:

a x + b y + c z + d = 0

a x - a   .   0 + b y + b d b + c z - c   .   0 = 0

a x - 0 + b y + d b + c z - 0 = 0

E pra c ≠ 0 :

a x - 0 + b y - 0 + c z + d c = 0

De todo jeito, chegamos à equação de um plano cujo vetor normal é a ,   b ,   c , beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância do ponto ao plano dado. - 6,3 , 5 ; x - 2 y - 4 z = 8
Determine a distância do ponto ao plano dado. 1 , - 2,4 ; 3 x + 2 y + 6 z = 5
Determine a distância entre as retas reversas com equações paramétricas x = 1 + t ,y = 1 + 6 t ,z = 2 t e x = 1 + 2 s ,y = 5 + 15 s ,z = - 2 + 6 s
Mostre que as retas com equações simétricas x = y = z e x + 1 = y / 2 = z / 3 são reversas e determine a distância entre elas.