Se a , b e c não são todos nulos, mostre que a equação a x + b y + c z + d = 0 representa um plano e 〈a, b, c〉 é o vetor normal ao plano.

Sugestão: Suponha a ≠ 0 e reescreva a equação na forma

a(x + d/a) + b(y - 0) + c(z - 0) = 0

Passo 1

Beleza, pessoal? Como sugerido no próprio exercício, podemos mostrar que a equação a x + b y + c z + d = 0 representa um plano reescrevendo assim, supondo a ≠ 0 :

a x + b y + c z + d = 0

a x + a d a + b y - b   .   0 + c z - c   .   0 = 0

a x + d a + b y - 0 + c z - 0 = 0

Olha só, chegamos à equação do plano cujo vetor normal é a ,   b ,   c e que passa pelo ponto - d a ,   0 ,   0 .

Passo 2

Se supusermos b ≠ 0 , poderemos também reescrever a equação:

a x + b y + c z + d = 0

a x - a   .   0 + b y + b d b + c z - c   .   0 = 0

a x - 0 + b y + d b + c z - 0 = 0

E pra c ≠ 0 :

a x - 0 + b y - 0 + c z + d c = 0

De todo jeito, chegamos à equação de um plano cujo vetor normal é a ,   b ,   c , beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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